Angle

Si tu as un angle et que tu veux le copier ailleurs, tu peux utiliser la méthode du report d’angle.

Qu’est-ce qu’un angle

La définition d’un angle n’est pas tout à fait simple et il en existe plusieurs versions. Mais pour nos besoins, celle-ci suffira : un angle est la partie du plan délimitée par deux demi-droites de même origine. Il est important de noter que l’angle n’est pas seulement ces deux côtés, mais toute la surface, toute la partie du plan que les deux côtés délimitent. Voir la figure suivante :

La figure précédente n’était toutefois pas tout à fait exacte, car nous n’avons pas précisé de quel angle nous parlons. À première vue, on pourrait certes se représenter par l’angle $\widehat{ABC}$ la surface indiquée, mais on pourrait tout aussi bien se représenter l’autre partie du plan :

C’est pourquoi, en notant un angle, nous devrions distinguer si nous parlons d’un angle saillant (celui qui mesure moins de 180°) ou d’un angle rentrant (plus de 180°). On parle aussi d’angle convexe et d’angle concave. On peut le noter, par exemple, à l’aide d’un angle orienté.

Un angle peut avoir une orientation positive ou négative. Dans le sens positif, on tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, et dans le sens négatif, dans le sens des aiguilles d’une montre. Ainsi, quand on écrit l’angle $\widehat{ABC}$, on mentionne en premier la demi-droite [BA) et en second la demi-droite [BC). Dans le sens positif, on regarde la demi-droite [BA) et on continue dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Dans notre exemple ci-dessus, on obtiendrait la première figure, l’angle saillant. Si nous choisissions le sens négatif, nous obtiendrions un angle rentrant, donc la seconde figure. Par convention, on compte dans le sens positif, et dans cet article aussi, les écritures seront faites dans le sens positif.

Un angle se compose donc de deux côtés qui le délimitent, d’un sommet d’où partent ces demi-droites et de la surface délimitée par les côtés de l’angle. Pour l’angle $\widehat{ABC}$, les côtés de l’angle sont [BA) et [BC) et le sommet est B.

Mesure d’un angle

De même qu’on peut mesurer la longueur d’un segment, on peut aussi mesurer la taille d’un angle. On la mesure soit en degrés, que tu connais certainement, soit en radians. Les degrés sont simples : 90° est un angle droit (par exemple, les angles intérieurs d’un carré mesurent chacun 90°), 180° est un angle plat (par exemple, deux demi-droites opposées le forment) et 360° est un angle plein (les demi-droites confondues le forment – un tel angle est constitué par tout le plan qui l’entoure). Le degré se divise ensuite en minutes (notées ′) et en secondes (notées ″). Un degré compte 60 minutes et une minute compte soixante secondes. 1° = 60′ et 1′ = 60″.

Figures des différents angles :

La mesure en radians est un peu plus difficile à se représenter, car on y calcule avec des radians, qui sont sans dimension. Mais j’ai déjà décrit la taille du radian et ses autres propriétés dans l’article consacré aux radians, donc je ne me répéterai pas.

Selon leur mesure, on peut ensuite répartir les angles en angle aigu, qui mesure moins de 90°, et en angle obtus, qui mesure entre 90° et 180°. Ce sont en quelque sorte des sous-ensembles de l’angle saillant que nous avons vu plus haut. L’angle rentrant mesure plus de 180° et ne se subdivise plus.

Paires d’angles

Certaines paires d’angles particulières ont des propriétés qu’il est bon de connaître.

• Des angles opposés par le sommet sont des angles qui ont le même sommet et dont les côtés sont des demi-droites opposées. Les angles opposés par le sommet sont toujours égaux, ils ont la même mesure.

• Des angles adjacents supplémentaires sont des angles qui ont un côté commun, les autres côtés étant des demi-droites opposées. La somme de deux angles adjacents supplémentaires est toujours égale à 180°, un angle plat.

• Des angles correspondants sont des angles dont les premiers côtés sont parallèles et dont les seconds côtés sont portés par une même droite. Il faut aussi que les angles aient la même orientation. Les angles correspondants sont égaux.

Il existe encore d’autres types d’angles, mais ce ne sont que des positions qu’on peut déduire des trois positions décrites ci-dessus.

Opérations sur les angles

On peut effectuer quelques opérations élémentaires sur les angles. La plus basique est l’addition. Numériquement, il n’y a presque rien à rater : on additionne simplement les mesures des angles. Si un angle dépasse 360°, on le ramène en général à une forme plus simple, entre 0° et 360°. Bref, c’est comme si tu travaillais en base 360. De même, si un exercice comporte des minutes ou des secondes, il faut calculer en base soixante (comme avec les heures d’une horloge).

Voici donc, par sécurité, un exemple. Additionne ces angles : α = 183° 51′ et β = 222° 24′. Calculons d’abord les minutes : 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (la méthode est simple : tu divises 75 par soixante. Le résultat donne le nombre de degrés et le reste donne le nombre de minutes restantes). Calculons maintenant les degrés : 183° + 222° = 405°. À ce résultat partiel, nous ajoutons le résultat précédent : 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Nous allons maintenant diminuer cet angle de 360 jusqu’à ce qu’il soit entre 0 et 360. Nous le diminuons parce que, si l’on parcourt un angle de 360°, on se retrouve au point de départ : un angle de 361° occupera sur le papier la même place qu’un angle de 1°. On arrive à ce calcul : 406° 15′ = 46° 15′.

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