Comment construire un triangle

Un triangle est un polygone qui a exactement trois côtés. On note ces côtés par des lettres minuscules, classiquement a, b, c. Le triangle a aussi trois sommets, que l’on note par des lettres majuscules, classiquement A, B, C. Le côté a correspond alors au segment [BC], le côté b au segment [AC] et le côté c au segment [AB]. Le côté a est toujours opposé au sommet A, et de même pour les autres côtés.

On connaît les trois côtés

Si l’on connaît les longueurs des trois côtés, construire le triangle est un jeu d’enfant. On choisit un des côtés, par exemple [AB], et on le trace comme un segment ordinaire. Ensuite, il faut trouver où se situe le troisième point. C’est simple : on prend le compas, on pique la pointe en B et on trace un cercle dont le rayon est la longueur du côté BC, par exemple cinq centimètres. On sait ainsi où peut se trouver le point C pour être à exactement cinq centimètres du point B. Puis on fait la même chose avec le côté AC et le point A. Nous avons maintenant deux cercles, et leur point d’intersection est un point qui se trouve à la distance voulue du sommet A et aussi à la distance voulue du point B.

On connaît deux côtés et une hauteur

Chaque côté du triangle a sa hauteur, définie comme la perpendiculaire menée du sommet opposé au côté considéré. Si cette perpendiculaire ne coupe pas directement le côté, il faut prolonger le côté jusqu’à l’endroit où il rencontre la perpendiculaire. La propriété fondamentale de la hauteur est donc d’être perpendiculaire au côté auquel elle correspond. On s’en sert souvent dans les problèmes de calcul, car on peut alors utiliser le théorème de Pythagore. La hauteur relative au côté c se note en général par la lettre minuscule h avec, en indice, le nom du côté auquel elle correspond. Dans notre cas, ce sera donc h_c. Le pied de la perpendiculaire (le point d’intersection du côté et de la perpendiculaire) se note de façon semblable, sauf qu’au lieu du h minuscule on écrit un P majuscule : P_c.

Nous avons mené la hauteur issue du sommet C. L’autre point se trouve sur le côté opposé [AB] (c’est-à-dire le côté c), et le segment [CP_c] est perpendiculaire au côté c. Le point P_c s’appelle le pied de la hauteur ; on appelle le côté c la base. On nomme généralement le pied d’après la lettre P avec en indice le sommet dont part la hauteur. Dans ce cas, c’est le sommet C.

Une hauteur se construit assez facilement : tu prends ta règle et tu traces la perpendiculaire au côté c de façon qu’elle passe exactement par le point C. C’est tout.

On peut mener une hauteur depuis chaque sommet du triangle. Toutes les hauteurs se coupent alors en un point que l’on appelle l’orthocentre. L’orthocentre peut se trouver à l’intérieur du triangle, mais pas nécessairement. Dans le cas d’un triangle dont les trois angles sont aigus, l’orthocentre se trouve à l’intérieur du triangle.

On connaît deux côtés et une médiane

Outre les hauteurs, chaque triangle a encore trois médianes. Une médiane est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent en un seul point, qui s’appelle le centre de gravité. Ce centre de gravité partage chaque médiane dans le rapport 2 : 1 – la partie de la médiane située avant le centre de gravité est soit deux fois plus petite, soit deux fois plus grande que l’autre partie, située après. On nomme les médianes par la lettre minuscule m avec en indice le côté auquel elles correspondent. Le centre de gravité se note en général par une seule lettre majuscule, G.

Si tu connais deux côtés et la médiane relative à l’un de ces deux côtés, tu construis le triangle très facilement. Tu commences à nouveau par tracer le côté [AB], puis tu trouves où se situe le point C en traçant deux cercles : le premier de centre B (ou A, si tu connais la longueur AC) et le second de centre le milieu C' du côté [AB]. Le point où les cercles se coupent est le point C cherché. Il n’y a rien de plus à expliquer : la construction est la même que dans le premier cas, sauf qu’au lieu du triangle ABC on construit d’abord le triangle C'BC, à partir duquel on trouve le sommet C cherché.

On connaît deux côtés et une autre médiane

Regarde d’abord le schéma pour voir à quoi cela doit ressembler :

Les éléments marqués en rouge sont connus, et à partir d’eux nous devons construire le triangle entier. La marche à suivre est la suivante : on complète ce triangle en un quadrilatère, et grâce à ce quadrilatère on trace le reste. La figure suivante l’explique clairement (rappelons que la longueur BD est égale au double de la longueur m_b).

Ce quadrilatère se construit simplement. On construit d’abord le triangle ABD. On connaît la longueur du côté AB, la longueur du côté BD est 2m_b et la longueur AD est la même que celle de BC. On trouve le point C soit en cherchant le point B', milieu du segment [BD], puis en traçant la demi-droite [AB'), la longueur AC étant alors 2AB'. La seconde possibilité est de tracer la droite parallèle au côté [AB] : le point C se trouvera sur cette droite, à la distance AB du point D.