Ορθογώνιο

Το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο, του οποίου όλες οι εσωτερικές γωνίες έχουν μέτρο 90 μοίρες – είναι δηλαδή ορθές. Οι απέναντι πλευρές του ορθογωνίου είναι πάντα ίσες. Το τετράγωνο είναι ειδική περίπτωση ορθογωνίου, που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

Βασική περιγραφή

Πρώτα κοίτα το σχήμα: Στο σχήμα βλέπεις ένα ορθογώνιο με κορυφές A, B, C και D, δηλαδή το ορθογώνιο ABCD. Έχει τέσσερις πλευρές: AB, BC, CD και DA. Οι απέναντι πλευρές έχουν πάντα το ίδιο μήκος, που το συμβολίζουμε με α και β. Στο σχήμα οι πλευρές έχουν μήκος πέντε και τρία, όπως φαίνεται.

Αν όλες οι πλευρές είχαν το ίδιο μήκος, δηλαδή αν ίσχυε α = β, τότε το σχήμα θα ήταν πάλι ορθογώνιο, αλλά συνήθως ένα τέτοιο ορθογώνιο το λέμε τετράγωνο. Το τετράγωνο είναι λοιπόν απλώς μια ειδική περίπτωση ορθογωνίου.

Διαγώνιοι

Κάθε ορθογώνιο έχει δύο διαγώνιους, δηλαδή ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τις μη διαδοχικές κορυφές. Στο σχήμα μας είναι τα τμήματα AC και BD. Στο σχήμα έχουν σημειωθεί και ως δ₁ και δ₂. Οι διαγώνιοι αυτές έχουν πάντα το ίδιο μήκος. Είναι επίσης πάντα μεγαλύτερες από οποιαδήποτε πλευρά του ορθογωνίου. Άλλες ιδιότητες των διαγωνίων:

• Το μήκος της διαγωνίου είναι $|\delta |=\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}$, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
• Σε αντίθεση με το τετράγωνο, οι διαγώνιοι δεν σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία.
• Κάθε διαγώνιος χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ίσα μέρη. Και οι δύο διαγώνιοι μαζί χωρίζουν το ορθογώνιο σε τέσσερα ίσα μέρη.
• Οι διαγώνιοι διχοτομούνται μεταξύ τους. Αν σημειώσουμε το κέντρο του ορθογωνίου με το σημείο O (όπως στο σχήμα), τότε το μήκος του τμήματος AO θα είναι ίσο με το μήκος του τμήματος CO.

Περίμετρος και εμβαδόν

Η περίμετρος είναι το μήκος του περιγράμματος του ορθογωνίου, δηλαδή το άθροισμα των μηκών και των τεσσάρων πλευρών: α + β + α + β. Επειδή όμως πάντα δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρο ως 2 · α + 2 · β.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι το μέγεθος της επιφάνειας που καταλαμβάνει. Το υπολογίζουμε πολλαπλασιάζοντας το μήκος της μίας πλευράς με το μήκος της διπλανής της. Ισχύει λοιπόν ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ισούται με α · β. Ακόμη μία φορά, συγκεντρωμένα:

$$\begin{array}{rcl}(\text{περίμετρος})\mathrm{\Pi }& =& 2\cdot \alpha +2\cdot \beta \\ (\text{εμβαδόν})E& =& \alpha \cdot \beta \end{array}$$

Στο επόμενο σχήμα απεικονίζεται πρώτα η περίμετρος – το άθροισμα των μηκών των τμημάτων που είναι χρωματισμένα κόκκινα – και μετά το εμβαδόν – το χρωματισμένο μέρος του ορθογωνίου.

Περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος

Όπως και στο τετράγωνο, το ορθογώνιο έχει περιγεγραμμένο κύκλο, δηλαδή κύκλο που έχει κέντρο στο κέντρο (στο βαρύκεντρο) του ορθογωνίου και ακτίνα ίση με το μισό του μήκους της διαγωνίου. Ο περιγεγραμμένος κύκλος περνά από όλες τις κορυφές του ορθογωνίου. Σε αντίθεση με το τετράγωνο, το ορθογώνιο δεν έχει εγγεγραμμένο κύκλο, εκτός φυσικά από την περίπτωση που το ορθογώνιο είναι ταυτόχρονα τετράγωνο.