Droite

La droite est la deuxième figure géométrique la plus simple et elle est unidimensionnelle (elle n’a pour ainsi dire qu’une longueur). Pour faire simple, une droite est une ligne droite infiniment longue, qui n’a ni début ni fin.

Propriétés de base

On nomme en général une droite par une lettre minuscule, par exemple a. On définit en général une droite par deux points, car par deux points distincts passe une seule droite. Il existe aussi la demi-droite, qui ressemble à la droite, à ceci près qu’elle a une origine (mais toujours pas de fin). Par exemple, les côtés des angles sont formés de demi-droites.

Écriture d’une droite dans le plan

Dans le plan, on peut écrire une droite à l’aide d’une fonction affine, dont la courbe représentative est toujours une droite. Malheureusement, cette méthode échoue dans l’espace, car une fonction affine ne permet pas de déterminer une troisième dimension. Dans le plan, en revanche, l’écriture à l’aide d’une fonction affine est le moyen le plus simple de décrire n’importe quelle droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Si tu as une fonction, tu en construis facilement la droite, mais l’inverse peut déjà poser problème. Prenons donc une droite tracée de cette façon :

L’expression d’une fonction affine ressemble à ceci : y = ax + b. On cherche d’abord b, le terme constant. Le plus simple est de le lire sur le graphique, à l’endroit où la droite coupe l’axe des ordonnées, quand x est égal à zéro. On voit que c’est deux, donc b = 2. En effet, quand ax est égal à zéro, la seule façon d’obtenir un deux pour y dans y = ax + b est que le terme constant soit égal à deux.

Il faut maintenant trouver à quoi est égal a. Ce sera plus pratique si nous supprimons un instant le terme constant en supposant qu’il est nul. La droite se déplace alors à l’origine du repère et nous déterminons a plus facilement :

On voit clairement qu’au point x = 6, y vaut 2. Nous remplaçons ces valeurs dans l’expression de la fonction : 6a + 0 = 2. On en tire facilement que $a=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Nous connaissons maintenant la valeur de a et nous pouvons écrire l’expression complète de la fonction, donc de la droite : y=1/3x+2.

$$y=\frac{x}{3}+2$$

Positions relatives de deux droites

Deux droites du plan peuvent avoir plusieurs positions relatives différentes. Commençons donc par les positions relatives dans le plan.

Si tu as deux droites posées l’une sur l’autre qui n’en forment qu’une seule – elles ont tous leurs points en commun –, on dit que les droites sont confondues. Si les droites se coupent en un seul point, on dit qu’elles sont sécantes. Si les droites n’ont aucun point commun, on dit qu’elles sont parallèles. On marque en général les droites parallèles par deux petits traits sur chacune, voir la dernière figure. Les figures suivantes résument tout cela :

Tu apprendras comment déterminer la position relative de deux droites dans un article séparé, dans la partie géométrie analytique. Dans la même catégorie, tu trouveras aussi la méthode pour obtenir l’équation cartésienne d’une droite, la représentation paramétrique d’une droite ou l’équation réduite d’une droite.