Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est sans doute le théorème de mathématiques le plus célèbre. Pour en savoir plus sur Pythagore de Samos lui-même, tu peux lire cet article. Pour l’instant, passons aux triangles.

Aire du carré construit sur un côté du triangle

Le théorème de Pythagore nous donne une relation utile entre les aires des carrés construits sur les côtés d’un triangle rectangle. Imaginons que nous ayons ce triangle rectangle :

Le quadrillage en arrière-plan nous donne les dimensions du triangle. La longueur du côté AC de l’angle droit est égale à 4 et celle du côté BC est égale à 3. Mais quelle est la longueur du côté AB, l’hypoténuse du triangle ? À première vue, on ne peut pas la connaître. Mais essayons de la calculer.

Construisons d’abord le carré sur le côté BC. Cela signifie que nous construisons un carré dont tous les côtés ont la même longueur que le côté BC, c’est-à-dire trois. Sur la figure, cela donne :

On obtient le carré BCDE, dont tous les côtés mesurent 3. Quelle est l’aire d’un tel carré ? On calcule l’aire d’un carré en multipliant les longueurs de deux de ses côtés, donc l’aire du carré BCDE est égale à 3 × 3 = 9. Dessinons maintenant sur la figure le carré construit sur l’autre côté de l’angle droit, le côté AC. Ce carré a des côtés de longueur 4.

Ce carré a pour aire 4 × 4 = 16. Dessinons à présent le dernier carré, celui construit sur l’hypoténuse AB :

Nous ne connaissons pas encore l’aire de ce nouveau carré, car nous ne connaissons pas la longueur du côté AB. Mais nous pouvons maintenant utiliser avec profit le théorème de Pythagore. Il dit en effet que l’aire de ce dernier carré ABHI est égale à la somme des aires des deux carrés précédents. Les deux premiers carrés avaient pour aires 9 et 16, donc le dernier carré a – d’après le théorème de Pythagore – pour aire 9 + 16 = 25. Reportons-le sur la figure :

Il ne reste plus qu’à répondre à la dernière question : si le carré ABHI a pour aire 25, quelle est la longueur de ses côtés ? C’est la racine carrée de 25, donc la longueur du côté AB est égale à $\sqrt{25}=5$. Vérifions : l’aire d’un carré de côté 5 est bien 5 × 5 = 25. Nous pouvons maintenant passer aux nombres et aux définitions.

Énoncé

Le théorème de Pythagore s’énonce à peu près ainsi : « Dans un triangle rectangle, l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés ». En mathématiques, on l’écrit en général ainsi :

$$c^2=a^2+b^2,$$

où a et b sont les longueurs des côtés de l’angle droit dans le triangle et c est la longueur de l’hypoténuse.

Que dit donc le théorème de Pythagore, et quel est le lien entre cette écriture et la figure précédente ? L’aire du carré construit sur un côté du triangle, c’est l’aire du carré dont le côté a la même longueur que ce côté. On calcule l’aire d’un carré en multipliant une longueur de côté par l’autre longueur de côté : si le côté mesure c, l’aire $\mathcal{A}$ est égale à $\mathcal{A}=c\times c$, ce qu’on peut écrire avec les puissances $\mathcal{A}=c^2$.

L’écriture c² = a² + b² se lit donc : « l’aire du carré de côté c est égale à la somme des aires des carrés de côtés a et b ».

Je souligne encore une fois que le théorème n’est valable que dans un triangle rectangle, et non dans un triangle quelconque. On utilise classiquement le théorème de Pythagore quand on connaît deux côtés et qu’on veut calculer la longueur du troisième. Si l’on connaît les longueurs des deux côtés de l’angle droit a et b et qu’on cherche la longueur de l’hypoténuse c, on calcule les aires des carrés construits sur ces côtés, c’est-à-dire a² + b². On obtient ainsi l’aire du carré construit sur l’hypoténuse c, donc c². Pour obtenir la longueur du côté c, il suffit de prendre la racine carrée de cette aire. On obtient la formule :

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

où c est la longueur de l’hypoténuse et a, b sont les longueurs des côtés de l’angle droit. Si l’on connaît au contraire la longueur de l’hypoténuse et d’un côté de l’angle droit et qu’on veut calculer la longueur de l’autre côté, on procède de la même façon, mais on isole d’abord l’un des côtés dans l’égalité. Donc, si l’on connaît c et b et qu’on veut calculer a, on isole a² dans l’égalité

$$c^2=a^2+b^2,$$

en soustrayant b² :

$$c^2-b^2=a^2,$$

on échange les deux membres :

$$a^2=c^2-b^2$$

et enfin on prend la racine carrée :

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Premier exemple

Soit un triangle ABC dont on connaît les longueurs de deux côtés : a = 3 et b = 4. C’est le même triangle qu’au début. La question est : quelle est la longueur du côté restant, le côté c ? Essayons de la calculer avec la formule ci-dessus. La figure suivante représente le triangle :

On voit qu’on connaît les longueurs des deux côtés de l’angle droit et qu’il nous manque celle de l’hypoténuse. Nous utilisons donc la première formule, non transformée :

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Remplaçons a et b par les longueurs des côtés :

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

La formule contient un carré – rappelons la relation suivante :

$$a^2=a\times a\to 4^2=4\times 4=16$$

Après avoir calculé les carrés, on obtient donc :

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Conclusion : la longueur du côté c est égale à cinq.

Deuxième exemple

Dans cet exemple, nous allons calculer la longueur d’un des côtés de l’angle droit, quand on connaît l’autre côté de l’angle droit et l’hypoténuse. Soit donc un triangle ABC avec AC = 10 et BC = 6. La figure suivante représente le triangle :

La figure montre que l’hypoténuse, c’est-à-dire le plus long côté, est le côté AC. Il faut calculer la longueur du côté AB. Nous utilisons la deuxième formule, celle qui sert à calculer la longueur d’un côté de l’angle droit :

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Pour appliquer correctement le théorème de Pythagore, il faut maintenant bien se rappeler ce que représente chaque lettre. Dans cette formule, la lettre a est la longueur du côté que nous voulons calculer, ici le côté AB. La lettre c est la longueur de l’hypoténuse, le plus long côté, ici le côté AC. Et la lettre b est la longueur du côté de l’angle droit dont on connaît la longueur, ici BC. Nous remplaçons donc ainsi dans la formule :

$$AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}$$

Remplaçons par les longueurs connues :

$$AB=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Calculons les carrés et soustrayons :

$$AB=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Et enfin prenons la racine carrée :

$$AB=8$$

La longueur du côté AB est égale à huit.

Problème

Imagine que tu vas chez une amie par un chemin droit. Ce chemin mesure 250 mètres. Après ce quart de kilomètre, tu tournes à gauche et tu marches encore 100 mètres : te voilà chez ton amie. La question est : de combien le trajet sera-t-il plus court si tu prends le chemin direct à travers champs ?

Première étape : calculons la longueur du trajet par la route. Tu marches d’abord 250 mètres tout droit, puis 100 mètres vers la gauche. Cela fait en tout 250 + 100 = 350 mètres. Il faut maintenant calculer la longueur du trajet à travers champs. Pour cela, il nous faut une figure.

Un carreau de la figure représente 50 mètres. À quoi ressemblerait le chemin direct à travers champs ? Ce serait le segment qui va du point A au point C. Traçons-le en rouge sur la figure.

On voit maintenant que, pour calculer la longueur du trajet à travers champs, il suffit d’appliquer correctement le théorème de Pythagore. On cherche la longueur de l’hypoténuse et on connaît la longueur des deux autres côtés, donc on utilise la première formule et on l’écrit ainsi :

$$AC=\sqrt{A{B}^2+C{B}^2}$$

Remplaçons par les longueurs :

$$AC=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Calculons les carrés :

$$AC=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Prenons la racine carrée et arrondissons :

$$AC=269$$

La longueur du trajet à travers champs est de 269 mètres. L’exercice n’est pas encore terminé : la question était de savoir de combien le trajet à travers champs est plus court. Soustrayons donc les longueurs, et notons d la différence :

$$d=350-269=81$$

Réponse : le trajet est plus court d’environ 81 mètres.

Longueur du côté d’un carré

Quelle est la longueur du côté d’un carré dont la diagonale mesure dix ? Comment le théorème de Pythagore peut-il nous aider ? Il faut trouver dans le carré un triangle rectangle que nous pourrons utiliser pour calculer la longueur du côté. Rappelons simplement qu’un carré a quatre côtés de même longueur. Dessinons la situation :

On voit que deux triangles qui ont un angle droit sont apparus dans le carré, et qu’on pourrait les utiliser pour calculer la longueur du côté. Prenons par exemple le triangle BCD. Le côté DB est l’hypoténuse, les deux autres sont les côtés de l’angle droit. Nous ne connaissons pas les longueurs des côtés de l’angle droit, mais nous connaissons celle de l’hypoténuse. Ces deux côtés ont la même longueur, donc BC = CD. Utilisons le théorème de Pythagore sous sa forme de base :

$$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2$$

Comme les deux côtés sont égaux, il suffit de calculer le carré de l’un d’eux et de le multiplier par deux – inutile de calculer le carré des deux côtés, puisqu’ils sont égaux et qu’on obtiendrait le même résultat. On peut donc écrire :

$$B{D}^2=2\left(B{C}^2\right)$$

Nous connaissons la longueur du côté BD, c’est l’hypoténuse. Elle est égale à dix. Remplaçons dans l’égalité :

$${10}^2=2\left(B{C}^2\right)$$

Calculons le carré de dix :

$$100=2\left(B{C}^2\right)$$

Divisons par deux :

$$\frac{100}{2}=B{C}^2$$

Simplifions la fraction :

$$50=B{C}^2$$

Nous y sommes presque. Nous savons que le carré de la longueur du côté du carré est égal à 50. Pour trouver la longueur du côté, il reste à prendre la racine carrée des deux membres, ce que nous pouvons faire car nous travaillons avec des nombres positifs :

$$\sqrt{50}=\sqrt{B{C}^2}$$

Nous laissons la racine carrée de cinquante sous cette forme, mais dans le membre de droite, on peut supprimer la racine carrée et le carré, car ils s’annulent.

$$\sqrt{50}=BC$$

Si tu veux, tu peux aussi calculer la racine carrée de cinquante. Arrondi, on obtient sept :

$$7=BC$$

La longueur du côté du carré est donc d’environ sept, exactement la racine carrée de cinquante.

Calculatrice

Tu calcules l’hypoténuse à partir des deux côtés de l’angle droit, et un côté de l’angle droit à partir de l’hypoténuse et de l’autre côté. Tu peux changer l’unité de chaque champ.