Kommutativitás

A kommutativitás (felcserélhetőség) az olyan műveletek tulajdonsága, mint például az összeadás. Észrevehetjük, hogy az összeadásnál nem számít a sorrend, tehát 3 + 5 ugyanannyi, mint 5 + 3. Bármelyik két valós számot adjuk össze, az a + b eredménye ugyanaz lesz, ha az összeadandókat felcseréljük: b + a. Ha egy művelet teljesíti ezt a feltételt, azt mondjuk rá, hogy kommutatív.

A szorzás is kommutatív művelet, hiszen 2 · 6 eredménye ugyanaz, mint 6 · 2, és ugyanez igaz bármely két a, b számra:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Nem kommutatív művelet például a kivonás, mert 7 − 4 nem ugyanaz, mint 4 − 7. Az első esetben 3 az eredmény, a másodikban −3. Másik példa az osztás, mert 2 / 5 nem ugyanaz, mint 5 / 2.

Figyelj azonban a műveletek további tulajdonságaira is, például a szorzás elsőbbségére. Ha adott az 1 + 2 · 3 kifejezés, nem mondhatjuk, hogy ez ugyanaz, mint 2 + 1 · 3, mert a szorzásnak elsőbbsége van az összeadással szemben. Segíthetünk magunknak zárójelekkel: az 1 + 2 · 3 kifejezés ugyanaz, mint 1 + (2 · 3). Ha az összeadás kommutativitását akarjuk alkalmazni, megtehetjük, de az egész zárójelet magunkkal kell vinnünk: az 1 + (2 · 3) kifejezés egyenlő a (2 · 3) + 1 kifejezéssel, ez pedig a (3 · 2) + 1 kifejezéssel, ha még a szorzás kommutativitását is alkalmazzuk.

Halmazműveletek és a kommutativitás

Nemcsak a számokkal végzett műveletek lehetnek kommutatívak, hanem például a halmazokkal végzett műveletek is. Az A és B halmaz metszete például kommutatív művelet. Két halmaz metszete „azok az elemek, amelyek mindkét halmazban megtalálhatók”, tehát

$$A\cap B=B\cap A$$

Teljesen ugyanígy működik az A és B halmaz uniója, amelynek eredménye azok az „elemek, amelyek legalább az egyik halmazban megtalálhatók”, vagyis:

$$A\cup B=B\cup A$$

Nem kommutatív például a halmazok különbsége.

Vektorok

Egy további kommutatív művelet a vektorműveletek között a vektorok összeadása – általánosságban is elmondható, hogy az összeadás többnyire kommutatív művelet. Ebben az esetben, ha adott két vektor, $\overrightarrow{u}$ és $\overrightarrow{v}$, akkor igaz, hogy

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Grafikusan ezt a következő ábra szemlélteti:

Az $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ összeget a „felső út” mutatja, amikor először a piros $\overrightarrow{u}$ vektort alkalmazzuk, és csak utána a kék $\overrightarrow{v}$ vektort. A $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ összeget az „alsó út” mutatja: először a kék $\overrightarrow{v}$ vektor útján megyünk, azután a piros $\overrightarrow{u}$ vektoréin. Az eredmény mégis ugyanaz, a vektorok ugyanabban a pontban érnek véget.

Úgy is elképzelheted, mintha elindulnál valahonnan, és mennél ötven métert északra, majd húsz métert nyugatra. Ha előbb húsz métert mennél nyugatra, és azután ötven métert északra, ugyanarra a helyre érkeznél. Az ilyen séta tehát kommutatív.

Logika

A kommutatív műveletek közé tartoznak az „és” (konjunkció) és a „vagy” (diszjunkció) logikai műveletek is. Ez azt jelenti, hogy az „5 páratlan és prímszám” állítás ugyanolyan igazságértékű, mint az „5 prímszám és páratlan” állítás. Hasonlóan a diszjunkciónál: a „6 prímszám vagy páros” állítás ugyanolyan igazságértékű, mint a „6 páros vagy prímszám” állítás.

Az implikáció viszont nem kommutatív, vagyis a „ha nyerek az ötöslottón, akkor gazdag leszek” állítás nem ugyanaz, mint az „ha gazdag leszek, akkor nyerek az ötöslottón”.