Asszociativitás

Az asszociativitás (csoportosíthatóság) az olyan műveletek tulajdonsága, mint például az összeadás vagy a szorzás. Nézd meg a következő két összeadást:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

A két kifejezés csak a zárójel helyében különbözik. De különbözik-e az eredményük? Mindkét kifejezés ugyanarra az eredményre vezet, az összeg mindig 6. Ha a zárójelek elhelyezése nem befolyásolja az eredményt, azt mondjuk, hogy a művelet asszociatív. Pontosabban azt írhatjuk, hogy az a ∘ b művelet asszociatív, ha igaz, hogy

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Másik asszociatív művelet a szorzás, mert igaz, hogy

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Nem asszociatív műveletek

A kivonás nem asszociatív. Példának vegyük a (10 − 4) − 3 kifejezést. Először kiszámítjuk a zárójelben lévő különbséget, és 6 − 3 adódik, ami 3. Ha viszont a 10 − (4 − 3) kifejezést próbáljuk kiszámítani, akkor megint előbb a zárójel tartalmát számítjuk ki, és 10 − 1 adódik, ami 9. A kivonás tehát nem asszociatív művelet.

Hasonlóan nem asszociatív az osztás. Példának vegyük a (64 / 4) / 2 kifejezést. Először kiszámítjuk a zárójelet, és 16/2 adódik, ami 8. Ha viszont a zárójelet máshová tesszük, 64 / (4 / 2) adódik, és a zárójel kiszámítása után a 64 / 2 hányadost kapjuk, ami 32. Az osztás tehát nem asszociatív.

Egy másik tipikus nem asszociatív művelet a hatványozás:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Az asszociativitás egyetlen műveletre vonatkozik!

Vigyázz, az asszociativitás mindig egyetlen műveletre vonatkozik. Ha van egy háromszámos kifejezésünk, de a műveletek nem azonosak, az asszociatív szabályt nem alkalmazhatjuk. Például:

$$(1+2)\cdot 3$$

A kifejezés két műveletet tartalmaz – összeadást és szorzást. Mindkét művelet önmagában asszociatív, mégsem alkalmazhatjuk most az asszociatív szabályt, nem alakíthatjuk át így:

$$1+(2\cdot 3)$$

mert a kifejezés két különböző műveletet tartalmaz. Ahhoz, hogy az asszociatív szabályt alkalmazhassuk, mindkét műveletnek összeadásnak, vagy mindkettőnek szorzásnak kellene lennie.

Metszet és unió

A halmazok metszete asszociatív. Például a

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

kifejezést úgy alakítanánk át, hogy először kiszámítanánk a zárójelben lévő halmazok metszetét, így

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

adódik. E halmazok metszete pedig {1}. Ha a zárójeleket áttennénk, a

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

kifejezést kapnánk, a zárójel kiszámítása után pedig:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

És ismét az {1} halmazt kapnánk. Látjuk, hogy a zárójelek elhelyezése nem számít, ezért a halmazok metszete asszociatív. Hasonlóan asszociatív a halmazok uniója is.

Szavak összefűzése / konkatenáció

Képzeld el, hogy lenne egy összeadásszerű műveletünk szavak részeire, amely egyszerűen a szavak összekapcsolását jelentené. Tehát a „számí” + „tógép” egyenlő lenne a „számítógép” szóval. Egy ilyen művelet asszociatív lenne. Ha például azt írnánk, hogy („izzó” + „lám”) + „pa”, akkor a zárójelben lévő összeadás elvégzésével először az „izzólám” + „pa” adódna, ami az „izzólámpa” szót adná. Ha a zárójeleket áttennénk, „izzó” + („lám” + „pa”), a zárójelben lévő összeadás után az „izzó” + „lámpa” adódna, ami ismét az „izzólámpa” szót adná.

A maximum és a minimum asszociatív

Képzeljünk el egy a ∨ b műveletet, amely a két szám közül a nagyobbat adja vissza. Egy ilyen művelet asszociatív lenne. Például az (5 ∨ 10) ∨ 7 kifejezést a 10 ∨ 7 kifejezéssé alakítanánk, ez pedig 10. A tízes a három szám közül a legnagyobb. Ha átrendeznénk a zárójeleket, az 5 ∨ (10 ∨ 7) kifejezést kapnánk, átalakítás után pedig az 5 ∨ 10 kifejezést, ami ismét 10.

A minimum teljesen ugyanígy viselkedne.