Szögfüggvények

Ebben a cikkben a szögfüggvényekkel foglalkozom, amelyeket néha trigonometrikus függvényeknek is neveznek. A goniometria szó a görögből származik, és szögmérést jelent, a trigon pedig háromszöget. Négy alapvető szögfüggvényt ismerünk – a szinuszt, a koszinuszt, a tangenst és a kotangenst.

A háromszöggel kapcsolatos alapfogalmak

A szögfüggvények a háromszög szögeivel dolgoznak, ezért ebben a részben átismételjük a háromszöggel kapcsolatos fogalmakat.

Az ábrán egy háromszög látható, amelyet az A, B és C csúcsok alkotnak; ez tehát az ABC háromszög. Három oldalt találunk benne: AB, BC, AC. Figyeld meg, hogy ezeket az oldalakat ráadásul kisbetűkkel is elneveztük. Ennek az elnevezésnek szabálya van – az A csúccsal szemben van az a oldal. A B csúccsal szemben a b oldal, a C csúccsal szemben pedig a c oldal. Az adott csúcsról tehát mindig a vele szemközti oldalt nevezzük el, vagyis azt az oldalt, amelynek az adott csúcs nem végpontja.

Minden háromszögnek három belső szöge van, amelyeket általában a görög alfa α, béta β és gamma γ betűkkel jelölünk. A három belső szög összege mindig 180°. Az A csúcsnál általában az alfa szög van, a B-nél a béta, a C-nél a gamma.

Bár a szögfüggvényeket valamilyen módon bármelyik háromszögben használhatjuk, gyakran csak a derékszögű háromszöggel dolgozunk. A derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek az egyik szöge derékszög, azaz 90°-os. Például így néz ki:

A derékszögű háromszög oldalainak külön nevük van. A leghosszabb oldal a derékszöggel szemben van, ezt átfogónak hívjuk (az ábrán a kék oldal). A két rövidebb oldalt befogónak hívjuk (piros oldalak). Ebben a cikkben ez a háromszög érdekel minket leginkább.

A befogók elnevezése a háromszögben

Térjünk át fokozatosan az első szögfüggvényre, a szinuszra. Az összes szögfüggvény a háromszög valamelyik szöge és két oldal hosszának aránya közötti összefüggést mutatja. Általában nem a derékszögről van szó, hanem a másik két szögről. A szögfüggvény bemenete tehát a szög nagysága. A kimenete két oldal aránya. Az egyes függvények abban különböznek, hogy melyik oldalakkal dolgoznak.

A szinuszfüggvény a szemközti befogóval és az átfogóval dolgozik. Hogy mi a melletti és mi a szemközti befogó egy adott szögre nézve, azt a következő ábra mutatja.

Az ábrán a béta szöggel, vagyis a B csúcsnál lévő szöggel dolgozunk. A fekete oldal az átfogó, ezen nem változik semmi. A pirossal kiemelt c oldal a melletti befogó, mert a béta szög mellett van. A kékkel kiemelt b oldal a szemközti befogó, mert a béta szöggel szemben van. Fontos, hogy ezek a fogalmak mindig egy szögre vonatkoznak. Ha az ábrát a gamma szög szemszögéből nézzük, ezt kapjuk:

A szinuszfüggvény

Az alfa szög szinusza egyenlő a szemközti befogó hosszának és az átfogó hosszának az arányával. Mit jelent ez? Ha kiszámítjuk (például számológéppel) az alfa szög szinuszát, a következő hányados értékét kapjuk:

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{A szemközti befogó hossza}}{\text{Az átfogó hossza}}$$

Próbáljuk ki ezen a háromszögön és a béta szögön: Szép háromszög, az oldalak hossza: |a| = 5, |b| = 3 és |c| = 4. A béta szöggel szemközti befogó a b oldal, az átfogó az a oldal. Kiszámítjuk a b/a hányadost, azaz 3/5-et, ami 0,6. A béta szög szinusza tehát 0,6. A béta szög nagysága 36°52', ha ezt a szöget beírod a számológépbe, és kiszámítod a szinuszát, pontosan 0,6-ot kapsz (kisebb kerekítéssel).

Mire jó ez

Akkor jó, ha ismered az egyik szöget és az egyik oldal hosszát, és ki kell számítanod a hiányzó oldalakat.

Először felírjuk, mit tudunk. Ismerjük az alfa szöget. Tudjuk, hogy ennek a szögnek a szinusza egyenlő a szemközti befogó (ez az a oldal) és az átfogó (a b oldal) arányával. Matematikailag felírva:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

A szög szinuszát ismerjük, illetve ki tudjuk számítani, az a oldal hosszát ismerjük. Az egyetlen, amit nem ismerünk, a b oldal hossza. Ezt a változót igyekszünk tehát kifejezni. Először megszorozzuk az egyenletet a b oldal hosszával. Azt kapjuk, hogy

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

és most már csak elosztjuk az egyenletet sin(α)-val, és megkapjuk a kívánt alakot, a b oldal hosszával a bal oldalon:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Az a oldal hosszát ismerjük, ez három. A 30° szinusza egyenlő $\frac{1}{2}$-del. Behelyettesítünk:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

A b oldal hossza hat.

A koszinuszfüggvény

A koszinusz nagyon hasonló a szinuszfüggvényhez. A koszinusszal kapcsolatos fogalmak ugyanazok, mint az előző részben, ezért térjünk át a meghatározásra:

Az alfa szög koszinusza egyenlő a melletti befogó hosszának és az átfogó hosszának az arányával. Ha tehát számológéppel kiszámítjuk az alfa szög koszinuszát, a következő hányados értékét kapjuk:

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{a melletti befogó hossza}}{\text{az átfogó hossza}}.$$

A szinusz és a koszinusz közötti különbséget áttekinthetően a következő ábra mutatja:

Mindkét függvény a háromszög átfogójával dolgozik, ez fekete marad. A szinusz a szemközti befogóval dolgozik, ami – az alfa szögre nézve – a piros BC oldal. A koszinusz a melletti befogóval dolgozik, ami a kék AB oldal.

Térjünk vissza az előző fejezetben leírt példához. Ki kellett számítanunk az átfogó hosszát, ha ismertük az a oldal hosszát. Próbáljuk meg most kiszámítani a c oldal hosszát, ha ismerjük az alfa szöget és az átfogó hosszát, amelyet az előző példában az imént számítottunk ki: b = 6.

Mit tudunk? Az alfa szög nagysága 30°, a b oldal hossza hat, és a koszinusz a melletti befogó és az átfogó arányát adja meg. A melletti befogó a c oldal, vagyis az az oldal, amelynek a hosszát meg akarjuk tudni. Felírjuk:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Az egyenletből ki kell fejeznünk a |c|-t. Ezt úgy tesszük, hogy az egyenletet megszorozzuk a b oldal hosszával, így a jobb oldalon csak a c oldal hossza marad:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Már csak felcseréljük az oldalakat:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

A jobb oldalon olyan kifejezések állnak, amelyeket vagy ismerünk, vagy ki tudunk számítani. A 30° koszinusza körülbelül 0,866. Behelyettesítünk az egyenletbe:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Ez a c oldal hossza. Ahogy a továbbiakban látni fogjuk, a 30° koszinusza táblázatos érték, amely egyenlő

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

ezért az előző hosszt pontosíthatjuk:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

A tangens és a kotangens

Van még két másik szögfüggvény, a tangens és a kotangens. A fő különbség az eddigi szögfüggvényekhez képest az, hogy a tangens és a kotangens csak a befogókkal dolgozik, az átfogóval nem.

Az alfa szög tangense egyenlő a szemközti befogó hosszának és a melletti befogó hosszának az arányával. A tangenst általában tg-vel jelöljük.

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{\text{A szemközti befogó hossza}}{\text{A melletti befogó hossza}}$$

Az alfa szög kotangense egyenlő a melletti befogó hosszának és a szemközti befogó hosszának az arányával. A kotangenst általában ctg-vel jelöljük.

$$\mathrm{ctg}(\alpha )=\frac{\text{A melletti befogó hossza}}{\text{A szemközti befogó hossza}}$$

A szóhasználat megint ugyanaz, mint az előző részekben, és a függvényekkel való további munka is ugyanaz. Térjünk vissza az előző példához, és próbáljuk meg kiszámítani a c oldal hosszát csak az alfa szög nagyságából és az a oldal hosszából, amely a = 3.

A tangens a szemközti és a melletti befogó aránya, matematikailag felírva tehát így néz ki:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Ki kell számítanunk a c oldal hosszát, ezért ebből az egyenletből ki kell fejeznünk a |c| kifejezést. Megszorozzuk a |c| kifejezéssel, és elosztjuk tg(α)-val, hasonlóan az előző példákhoz.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \mathrm{tg}(\alpha )& =& |a|/:\mathrm{tg}(\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\mathrm{tg}(\alpha )}\end{array}$$

Behelyettesítünk a jobb oldalra, ahol a 30° tangense körülbelül 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

A 30° tangensének is van táblázatos értéke:

$$\mathrm{tg}({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

ezért az előző számítást pontosan is elvégezhetjük:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Táblázatos értékek

A szinusz, a koszinusz, a tangens és a kotangens néhány szép szögre szép értékeket ad. Íme az alapvető áttekintésük:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \mathrm{tg}& \mathrm{ctg}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Kapcsolódó cikkek

Kapcsolódó fogalmak ezen az oldalon:

• Irányított szög
• Radián