Pitagorasz-tétel

A Pitagorasz-tétel talán a leghíresebb matematikai tétel. A számoszi Pitagoraszról másutt olvashatsz. Most a háromszögekkel foglalkozunk.

A háromszög oldala fölé emelt négyzet területe

A Pitagorasz-tétel hasznos összefüggést mond ki a derékszögű háromszög oldalai fölé szerkesztett négyzetek területei között. Képzeljük el, hogy adott ez a derékszögű háromszög:

Az ABC derékszögű háromszög

A háttérben látható négyzetrács megadja a háromszög méreteit. Az AC befogó hossza 4, a BC befogó hossza 3. De mekkora az AB oldal, a háromszög átfogójának hossza? Elsőre nem tudjuk meghatározni. De megpróbálhatjuk kiszámítani.

Először szerkesztünk egy négyzetet a BC befogó fölé. Ez azt jelenti, hogy olyan négyzetet szerkesztünk, amelynek minden oldala ugyanakkora, mint a BC oldal hossza, vagyis három. Az ábrán ezt így rajzolnánk be:

Megkaptuk a BCDE négyzetet, amelynek minden oldala 3 hosszú. Mekkora egy ilyen négyzet területe? A négyzet területét úgy számítjuk ki, hogy összeszorozzuk a négyzet két oldalának hosszát, tehát a BCDE négyzet területe 3 · 3 = 9. Rajzoljuk be az ábrába a másik befogó, az AC fölé szerkesztett négyzetet is. Ennek a négyzetnek az oldala 4 hosszú.

Ennek a négyzetnek a területe 4 · 4 = 16. Most berajzoljuk az utolsó négyzetet, az AB átfogó fölé:

Hogy ennek az új négyzetnek mekkora a területe, azt még nem tudjuk, mert nem ismerjük az AB oldal hosszát. Most viszont szépen felhasználhatjuk a Pitagorasz-tételt. Az ugyanis azt mondja, hogy ennek az utolsó, ABHI négyzetnek a területe egyenlő az előző két négyzet területének összegével. Az első két négyzet területe tehát 9 és 16, az utolsó négyzet területe így – a Pitagorasz-tétel szerint – 9 + 16 = 25. Rajzoljuk be az ábrába:

Most már csak az utolsó kérdésre kell válaszolnunk: ha az ABHI négyzet területe 25, mekkora ennek a négyzetnek az oldala? Ez a 25 négyzetgyöke, tehát az AB oldal hossza $\sqrt{25} = 5$ . Ha visszaellenőrizzük, és kiszámítjuk az 5 oldalhosszúságú négyzet területét, 5 · 5 = 25-öt kapunk. Most már rátérhetünk a számokra és a definíciókra.

A tétel kimondása

A Pitagorasz-tétel nagyjából így hangzik: „A derékszögű háromszög átfogója fölé emelt négyzet területe egyenlő a befogói fölé emelt négyzetek területének összegével.” Matematikailag ezt a tételt általában így írjuk le:

$c^{2} = a^{2} + b^{2},$

ahol a és b a háromszög befogóinak hossza, c pedig az átfogó hossza.

Mit mond tehát a Pitagorasz-tétel, és hogyan függ össze ez a jelölés az előző ábrával? A háromszög egy oldala fölé emelt négyzet területe azt jelenti, hogy vesszük azt a négyzetet, amelynek oldala egyenlő az adott oldal hosszával, és kiszámítjuk a területét. A négyzet területét úgy számítjuk ki, hogy az egyik oldal hosszát megszorozzuk a másik oldal hosszával, vagyis ha az oldal hossza c, akkor a T terület: T = c · c, amit a hatványok segítségével felírhatunk így: T = c².

A c² = a² + b² jelölést tehát úgy olvashatjuk, hogy „a c oldalhosszúságú négyzet területe egyenlő az a és b oldalhosszúságú négyzetek területének összegével”.

Még egyszer hangsúlyozom, hogy a tétel csak a derékszögű háromszögben érvényes, általános háromszögben nem. A Pitagorasz-tételt klasszikusan akkor használjuk, ha két oldal hosszát ismered, és a harmadik oldal hosszát kell kiszámítanod. Ha tehát ismerjük mindkét befogó, a és b hosszát, és a c átfogó hosszát akarjuk megkapni, kiszámítjuk a befogók fölötti négyzetek területét, vagyis az a² + b² értéket. Ezzel megkapjuk a c átfogó fölötti négyzet területét, vagyis a c²-et. A c oldal hosszának meghatározásához a kiszámított területnek már csak a négyzetgyökét kell venni. Így kapjuk a képletet:

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}},$

ahol c az átfogó hossza, a, b pedig a befogók hossza. Ha viszont az átfogó és az egyik befogó hosszát ismernénk, és a másik befogó hosszát akarnánk kiszámítani, ugyanígy számolnánk, csak előbb kifejeznénk az egyik befogót az adott egyenletben. Tehát ha ismerjük c-t és b-t, és az a-t akarjuk kiszámítani, az

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

egyenletben az a²-et úgy fejezzük ki, hogy kivonjuk b²-et:

$c^{2} - b^{2} = a^{2},$

felcseréljük a bal és a jobb oldalt:

$a^{2} = c^{2} - b^{2}$

végül gyököt vonunk:

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Első példa

Adott az ABC háromszög, amelyben két oldal hosszát ismerjük: a = 3 és b = 4. Ez ugyanaz a háromszög, mint az elején. A kérdés az, hogy mekkora a hiányzó oldal, a c oldal hossza. Próbáljuk meg kiszámítani a fenti képlettel. A háromszöget a következő ábra mutatja:

Az első feladat háromszöge

Látjuk, hogy két befogó hosszát ismerjük, az átfogó hossza hiányzik. Ezért az első, át nem alakított képletet használjuk:

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Az a és b változók helyére behelyettesítjük az oldalak hosszát:

$c = \sqrt{3^{2} + 4^{2}}$

A képletben négyzet szerepel – emlékeztetőül a következő összefüggés érvényes:

$a^{2} = a \cdot a \to 4^{2} = 4 \cdot 4 = 16$

Tehát a négyzetek kiszámítása után ezt kapjuk:

$\begin{array}{rcl} c & = & \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ c & = & \sqrt{9 + 16} \\ c & = & \sqrt{25} \\ c & = & 5 \end{array}$

Az eredmény az, hogy a c oldal hossza öt.

Második példa

Ebben a példában az egyik befogó hosszát próbáljuk kiszámítani, ha a másik befogót és az átfogó hosszát ismerjük. Adott tehát az ABC háromszög, az oldalak hossza |AC| = 10 és |BC| = 6. A háromszöget a következő ábra mutatja:

A második példa háromszöge

Az ábráról látjuk, hogy az átfogó, vagyis a leghosszabb oldal az |AC| oldal. Ki kell számítanunk az |AB| oldal hosszát. Behelyettesítünk a második képletbe, amely a befogó hosszát számítja ki:

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Hogy helyesen alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, most végig kell gondolnunk, melyik változó mit jelent. Ebben a képletben az a változó annak az oldalnak a hossza, amelyet ki akarunk számítani, esetünkben az |AB| oldal. A c változó az átfogó, a leghosszabb oldal hossza, esetünkben az |AC| oldal. A b változó pedig annak a befogónak a hossza, amelyet ismerünk, esetünkben |BC|. Ezért a képletbe így helyettesítünk:

$| A B | = \sqrt{| A C |^{2} - | B C |^{2}}$

Behelyettesítjük az ismert oldalhosszakat:

$| A B | = \sqrt{10^{2} - 6^{2}}$

Kiszámítjuk a hatványokat, és kivonunk:

$| A B | = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64}$

Végül gyököt vonunk:

$| A B | = 8$

Az |AB| oldal hossza nyolc.

Szöveges feladat

Képzeld el, hogy egy egyenes úton mész a barátnődhöz. Az út hossza 250 méter. Ennek a negyed kilométernek a végén balra fordulsz, és még 100 métert mész, és már a jó barátnődnél vagy. A kérdés az, mennyivel lesz rövidebb az út, ha a mezőn át, egyenesen mész?

Első lépésként kiszámítjuk az út hosszát, ha az úton mész. Először 250 métert mész egyenesen, aztán 100 métert balra. Ez összesen 250 + 100 = 350 méter. Most jön a mezőn át vezető út hosszának kiszámítása. Ehhez ábra kell.

Az út iránya, ha az úton mész

Az ábrán egy négyzet 50 métert jelent. Hogyan nézne ki az egyenes út a mezőn át? Az A pontból a C pontba vezető szakasz volna. Rajzoljuk be az ábrába pirossal. A mezőn át vezető rövidítés kiemelése

Most már látjuk, hogy a mezőn át vezető út hosszának kiszámításához elég megfelelően alkalmazni a Pitagorasz-tételt. Az átfogó hosszát keressük, és mindkét befogó hosszát ismerjük, ezért az első képletet használjuk, és így helyettesítünk be:

$| A C | = \sqrt{| A B |^{2} + | C B |^{2}}$

Behelyettesítjük a hosszakat:

$| A C | = \sqrt{250^{2} + 100^{2}}$

Négyzetre emelünk:

$| A C | = \sqrt{62500 + 10000} = \sqrt{72500}$

Gyököt vonunk, és kerekítünk:

$| A C | = 269$

A mezőn át vezető út hossza 269 méter. A példának még nincs vége, mert a kérdés az volt, mennyivel rövidebb a mezőn át vezető út. Kivonjuk tehát egymásból a hosszakat, a különbséget jelöljük r-rel:

$r = 350 - 269 = 81$

A válasz az, hogy az út körülbelül 81 méterrel rövidebb.

A négyzet oldalának hossza

Mekkora az oldala annak a négyzetnek, amelynek az átlója tíz hosszú? Hogyan segít ebben a Pitagorasz-tétel? A négyzetben találnunk kell valamilyen derékszögű háromszöget, amellyel kiszámíthatjuk a négyzet oldalának hosszát. Csak emlékeztetőül: a négyzetnek négy egyenlő hosszú oldala van. Rajzoljuk le a jelenlegi helyzetet:

Négyzet, amelynek átlója tíz hosszú

Látjuk, hogy a négyzetben egyszerre két háromszög jelent meg, amelyeknek derékszögük van, és amelyeket felhasználhatnánk az oldal hosszának kiszámításához. Vegyük például a BCD háromszöget. A DB oldal az átfogó, a másik kettő befogó. A befogók hosszát nem ismerjük, de az átfogó hosszát igen. Ezek a befogók egyforma hosszúak, tehát |BC| = |CD|. Az alap Pitagorasz-tételt használjuk:

$| B D |^{2} = | B C |^{2} + | C D |^{2}$

Mivel azonban a befogók egyenlők, elég az egyik befogó négyzetét kiszámítani, és megszorozni kettővel – nem kell mindkét befogó négyzetét kiszámítani, mert egyformák, és ugyanaz jönne ki. Felírhatjuk tehát:

$| B D |^{2} = 2 (| B C |^{2})$

A BD oldal hosszát ismerjük, ez az átfogó. A hossza tíz. Behelyettesítünk az egyenletbe:

$10^{2} = 2 (| B C |^{2})$

Négyzetre emeljük a tízet:

$100 = 2 (| B C |^{2})$

Elosztjuk kettővel:

$\frac{100}{2} = | B C |^{2}$

Egyszerűsítjük a törtet:

$50 = | B C |^{2}$

Most már majdnem célnál vagyunk. Tudjuk, hogy a négyzet oldalhosszának négyzete 50. Az oldal hosszának meghatározásához tehát még gyököt kell vonnunk az egyenletből, amit megtehetünk, mert pozitív számok között mozgunk:

$\sqrt{50} = \sqrt{| B C |^{2}}$

Az ötven négyzetgyökét ebben az alakban hagyjuk, az egyenlet jobb oldalán viszont elhagyhatjuk a négyzetgyököt és a hatványt, mert kioltják egymást.

$\sqrt{50} = | B C |$

Ha akarod, az ötvennek is kiszámíthatod a négyzetgyökét. Kerekítve hetet kapnál:

$7 = | B C |$

Tehát a négyzet oldalának hossza körülbelül hét, pontosan ötven négyzetgyöke.

Számológép

Az átfogót a két befogóból, a befogót az átfogóból és a másik befogóból számíthatod ki. A mértékegységet minden mezőnél átválthatod.

Fejezetek: Háromszög, A háromszög magassága, A háromszög súlyvonala, Háromszög köré írt és beírt kör, Derékszögű háromszög, Háromszög szerkesztése, Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, A háromszög területe, Pitagorasz-tétel

« Előző: A háromszög területe

Következő: A kör »