Sifat asosiatif

Sifat asosiatif (pengelompokan) adalah sifat yang dimiliki operasi seperti penjumlahan atau perkalian. Coba perhatikan dua penulisan penjumlahan berikut:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Kedua bentuk hanya berbeda pada letak tanda kurung. Apakah hasilnya juga berbeda? Kedua bentuk menghasilkan nilai yang sama: jumlahnya selalu 6. Jika letak tanda kurung tidak memengaruhi hasil, kita katakan operasi itu bersifat asosiatif. Lebih tepatnya, operasi a ∘ b bersifat asosiatif jika berlaku

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Operasi lain yang bersifat asosiatif adalah perkalian, karena berlaku

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operasi yang tidak bersifat asosiatif

Pengurangan tidak bersifat asosiatif. Sebagai contoh, ambil bentuk (10 − 4) − 3. Pertama kita hitung selisih di dalam tanda kurung, sehingga diperoleh 6 − 3, yaitu 3. Namun, jika kita menghitung 10 − (4 − 3), kita juga lebih dulu menghitung isi tanda kurung dan memperoleh 10 − 1, yaitu 9. Jadi, operasi pengurangan tidak bersifat asosiatif.

Demikian pula, operasi pembagian tidak bersifat asosiatif. Sebagai contoh, ambil bentuk (64 / 4) / 2. Pertama kita hitung isi tanda kurung dan memperoleh 16/2, yaitu 8. Namun, jika tanda kurungnya dipindah menjadi 64 / (4 / 2), setelah isi tanda kurung dihitung kita memperoleh 64 / 2, yaitu 32. Jadi, operasi pembagian tidak bersifat asosiatif.

Contoh khas lain operasi yang tidak bersifat asosiatif adalah perpangkatan:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Sifat asosiatif menyangkut satu operasi!

Perhatikan bahwa sifat asosiatif selalu menyangkut satu operasi. Jika kita mempunyai bentuk dengan tiga bilangan, tetapi operasinya tidak sama, sifat asosiatif tidak boleh dipakai. Contoh:

$$(1+2)\cdot 3$$

Bentuk ini memuat dua operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian. Masing-masing operasi bersifat asosiatif, tetapi di sini sifat asosiatif tetap tidak boleh dipakai. Bentuk tadi tidak boleh kita ubah menjadi

$$1+(2\cdot 3)$$

karena bentuk itu memuat dua operasi yang berbeda. Agar sifat asosiatif dapat dipakai, kedua operasi harus sama-sama penjumlahan atau sama-sama perkalian.

Irisan dan gabungan

Irisan himpunan bersifat asosiatif. Contoh:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

Pertama kita hitung irisan himpunan di dalam tanda kurung, sehingga diperoleh

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Irisan kedua himpunan ini adalah {1}. Jika letak tanda kurungnya ditukar, kita memperoleh

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

dan setelah isi tanda kurung dihitung:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Hasilnya lagi-lagi {1}. Terlihat bahwa letak tanda kurung tidak berpengaruh, jadi irisan himpunan bersifat asosiatif. Demikian pula, gabungan himpunan bersifat asosiatif.

Penggabungan kata (konkatenasi)

Bayangkan suatu operasi penjumlahan untuk potongan kata yang artinya cukup menyambung potongan-potongan itu. Jadi, “kompu” + “ter” sama dengan kata “komputer”. Operasi seperti ini bersifat asosiatif. Contohnya, jika kita menulis (“se” + “pe”) + “da”, pertama kita jumlahkan isi tanda kurung dan memperoleh “sepe” + “da”, sehingga hasilnya kata “sepeda”. Jika letak tanda kurungnya ditukar menjadi “se” + (“pe” + “da”), setelah isi tanda kurung dijumlahkan kita memperoleh “se” + “peda”, dan hasilnya lagi-lagi kata “sepeda”.

Maksimum dan minimum bersifat asosiatif

Bayangkan operasi a ∨ b yang menghasilkan bilangan yang lebih besar di antara dua bilangan. Operasi seperti ini bersifat asosiatif. Contohnya, (5 ∨ 10) ∨ 7 kita ubah menjadi 10 ∨ 7, dan hasilnya 10. Bilangan 10 adalah yang terbesar di antara ketiga bilangan itu. Jika letak tanda kurungnya diubah, kita memperoleh 5 ∨ (10 ∨ 7), lalu 5 ∨ 10, yang hasilnya juga 10.

Minimum berperilaku persis sama.