Ragam (varians)

Ragam menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam data kita tersebar. Ragam disebut juga varians.

Apa itu ragam

Perhatikan tabel berikut. Tabel ini memuat nilai rapor sepuluh siswa kelas 8B. Kita akan melihat dua mata pelajaran, yaitu matematika dan sejarah.

Terlihat bahwa sebagian besar siswa mendapat nilai 80 untuk matematika, hanya sesekali ada yang mendapat 100 atau 60. Sebaliknya, kolom sejarah cukup kacau: nilainya tersebar dari 100 sampai 20, dan tidak ada nilai yang jelas lebih dominan. Jadi, nilai sejarah lebih tersebar daripada nilai matematika.

Jika kita menghitung rata-rata nilai matematika, hasilnya 82. Terlihat bahwa sebagian besar nilai cukup dekat dengan rata-rata ini. Sebaliknya, rata-rata nilai sejarah adalah 68, dan sebagian besar nilainya tidak dekat dengan rata-rata tersebut.

Bagaimana cara menyatakan penyebaran ini dengan angka?

Cara menghitung ragam

Data dari tabel sebelumnya kita gambarkan dalam grafik, dan yang ditampilkan hanya nilai sejarah.

Pada sumbu x ada siswa (kali ini tanpa nama, jadi anggap saja 1 = Budi, 2 = Andi, dan seterusnya). Pada sumbu y ada nilai rapor. Garis y = 68 menunjukkan rata-rata.

Ragam dihitung sebagai rata-rata kuadrat jarak setiap nilai ke rata-rata. Kedengarannya rumit, padahal sebenarnya sederhana. Kuadrat x bisa kita bayangkan sebagai luas persegi dengan panjang sisi x. Jadi, pada grafik kita buat persegi-persegi yang panjang sisinya sama dengan jarak nilai ke rata-rata:

Grafik ini hanya menampilkan empat persegi, karena tidak semuanya muat. Terlihat bahwa nilai Siti cukup dekat dengan rata-rata, sehingga perseginya kecil. Sebaliknya, nilai Wayan jauh dari rata-rata, sehingga perseginya besar. Jika kita menggambar semua persegi dan menghitung rata-rata luasnya, kita memperoleh ragam.

Jika kita mempunyai kumpulan nilai X = [x₁, …, x_N] dengan rata-rata $\bar{x}$, ragam yang kita lambangkan dengan Var dihitung seperti ini:

$$\text{Var}(X)=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

Dengan notasi sigma, rumusnya seperti ini:

$$\text{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

Mengapa harus $(x_1-\bar{x}{)}^2$? Bentuk $x_1-\bar{x}$ saja memberikan jarak titik x₁ ke rata-rata. Lebih tepatnya kita harus menulis $|x_1-\bar{x}|$ (nilai mutlak), untuk berjaga-jaga jika nilai x₁ lebih kecil daripada rata-rata. Karena kita ingin mengetahui luas persegi, nilai ini kita kuadratkan.

Jadi, ragam data kita adalah:

$$\begin{array}{r}Var(\text{Sejarah})=\frac{1}{10}((40-68{)}^2+(100-68{)}^2+(100-68{)}^2+\\ (100-68{)}^2+(60-68{)}^2+(40-68{)}^2+\\ (20-68{)}^2+(100-68{)}^2+(80-68{)}^2+\\ (40-68{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 8.960=896\end{array}$$

Ragam (varians) nilai sejarah adalah 896. Ragam nilai matematika dihitung seperti ini:

$$\begin{array}{r}Var(\text{Matematika})=\frac{1}{10}((80-82{)}^2+(100-82{)}^2+(80-82{)}^2+\\ (80-82{)}^2+(80-82{)}^2+(100-82{)}^2+\\ (80-82{)}^2+(80-82{)}^2+(80-82{)}^2+\\ (60-82{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 1.160=116\end{array}$$

Ragam (varians) nilai matematika adalah 116. Seperti yang kita duga, ragam data ini jauh lebih kecil.

Cara menghitung ragam di Excel

Di Excel, ragam dihitung dengan fungsi VAR atau salah satu variannya. Misalnya, pada fungsi VAR.P kita masukkan rentang sel sebagai argumennya.