분산

분산은 통계 자료의 값들이 얼마나 흩어져 있는지 알려 준다. 영어로는 variance라고 한다.

분산이란

중학교 2학년 2반 학생 열 명의 성적표 등급을 정리한 다음 표를 보자. 수학과 역사, 두 과목을 살펴본다.

대부분의 학생이 수학에서 2등급이고, 가끔 1등급이나 3등급이 있다. 반면 역사 열은 꽤 뒤죽박죽이다. 등급이 1등급부터 5등급까지 흩어져 있고, 어느 등급도 두드러지게 많지 않다. 따라서 역사 등급이 수학 등급보다 더 흩어져 있다.

수학의 평균 등급을 구하면 1.9이다. 대부분의 값이 이 값 가까이에 있다. 반면 역사의 평균은 2.6이고, 대부분의 등급이 이 값 가까이에 있지 않다.

이 흩어진 정도를 수로는 어떻게 나타낼까?

분산 구하기

앞의 표의 자료를 그래프로 나타내되 역사 등급만 나타낸다.

x축은 학생이다(이번에는 이름이 없으므로 1 = 민준, 2 = 서연과 같이 생각하자). y축은 등급이다. 직선 y = 2.6은 평균을 나타낸다.

분산은 평균에서 떨어진 거리의 제곱의 평균으로 구한다. 어렵게 들리지만 간단하다. x의 제곱은 한 변의 길이가 x인 정사각형의 넓이로 생각할 수 있다. 그래서 그래프에 한 변의 길이가 값과 평균 사이의 거리와 같은 정사각형을 그린다.

그래프에는 이런 정사각형이 네 개 그려져 있다. 모두 그리기에는 자리가 부족하다. 영희는 평균에 꽤 가까우므로 정사각형이 작다. 반면 준호는 평균에서 멀리 떨어져 있으므로 정사각형이 크다. 정사각형을 모두 그리고 그 넓이의 평균을 구하면 분산을 얻는다.

자료 X = [x₁, …, x_N]이 있고 $\bar{x}$가 평균일 때, 분산을 V로 나타내면 다음과 같이 구한다.

$$V(X)=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

시그마 기호를 쓰면 다음과 같다.

$$V(X)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

왜 하필 $(x_1-\bar{x}{)}^2$일까? 식 $x_1-\bar{x}$는 점 x₁과 평균 사이의 거리를 나타낸다. 값 x₁이 평균보다 작을 수도 있으므로 더 정확히는 $|x_1-\bar{x}|$(절댓값)라고 써야 한다. 정사각형의 넓이를 알고 싶으므로 이 값을 제곱한다.

따라서 이 자료의 분산은 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}V(\text{역사})=\frac{1}{10}((4-2.6{)}^2+(1-2.6{)}^2+(1-2.6{)}^2+\\ (1-2.6{)}^2+(3-2.6{)}^2+(4-2.6{)}^2+\\ (5-2.6{)}^2+(1-2.6{)}^2+(2-2.6{)}^2+\\ (4-2.6{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 22.4=2.24\end{array}$$

분산은 2.24이다. 수학 등급의 분산은 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}V(\text{수학})=\frac{1}{10}((2-1.9{)}^2+(1-1.9{)}^2+(2-1.9{)}^2+\\ (2-1.9{)}^2+(2-1.9{)}^2+(1-1.9{)}^2+\\ (2-1.9{)}^2+(2-1.9{)}^2+(2-1.9{)}^2+\\ (3-1.9{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 2.9=0.29\end{array}$$

분산은 0.29이다. 예상대로 이 자료의 분산이 훨씬 작다.

엑셀로 분산 구하기

엑셀에서는 함수 VAR나 그 변형을 쓴다. 예를 들어 VAR.P에 인수로 셀 범위를 넣는다.