Дисперсия

Дисперсията ни показва колко са разпръснати стойностите в нашата статистическа съвкупност. На английски дисперсията се нарича още variance.

Какво е дисперсия

Погледни следващата таблица, която показва годишните оценки на десет избрани ученици от 8 „б“ клас. Ще ни интересуват два предмета, математика и история.

Виждаме, че повечето ученици имат по математика 5, понякога някой има 6 или 4. В колонката с историята обаче цари истински хаос — оценките са разпръснати от 2 до 6 и никоя оценка дори не преобладава съществено. Затова оценките по история са по-разпръснати от оценките по математика.

Когато изчислим средния успех по математика, получаваме 5,1. Виждаме, че повечето елементи се движат доста близо до тази стойност. При историята пък средната стойност е 4,4 и повечето оценки не се движат близо до нея.

Как бихме изразили числено тази разпръснатост?

Как да изчислим дисперсията

Данните от предишната таблица превръщаме в графика и показваме само оценките по история.

На оста x имаме отново учениците (този път без имена, затова приемаме, че 1 = Тодор, 2 = Мартин и т.н.). На оста y имаме годишните оценки. Правата y = 4,4 представя средната стойност.

Дисперсията изчисляваме като средно аритметично от квадратите на разстоянията до средната стойност. Звучи загадъчно, но е просто. Квадратът на x можем да си представим като лице на квадрат със страна x. Така построяваме в нашата графика квадрати, които имат страна, равна на разстоянието на стойността до средната стойност:

В графиката са показани четири такива квадрата, всички не биха се побрали. Виждаме, че Яна е съвсем близо до средната стойност, затова нейният квадрат е малък. Николай пък е далеч от средната стойност, затова квадратът е голям. Ако построим всички квадрати и изчислим средното лице на тези квадрати, ще получим дисперсията.

Ако имаме съвкупност от стойности X = [x₁, …, x_N], където $\bar{x}$ е средната стойност, дисперсията, нека я означим с Var, изчисляваме така:

$$\text{Var}(X)=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

Или със сума така:

$$\text{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

Защо точно $(x_1-\bar{x}{)}^2$? Самият израз $x_1-\bar{x}$ би ни върнал разстоянието на точката x₁ от средната стойност. По-точно трябва да напишем $|x_1-\bar{x}|$ (абсолютна стойност), ако стойността x₁ е по-малка от средната стойност. Тъй като искаме да знаем лицето на квадрата, повдигаме тази стойност на втора степен.

Дисперсията на нашата съвкупност от данни би била:

$$\begin{array}{r}Var(\text{История})=\frac{1}{10}((3-4,4{)}^2+(6-4,4{)}^2+(6-4,4{)}^2+\\ (6-4,4{)}^2+(4-4,4{)}^2+(3-4,4{)}^2+\\ (2-4,4{)}^2+(6-4,4{)}^2+(5-4,4{)}^2+\\ (3-4,4{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 22,4=2,24\end{array}$$

Дисперсията е 2,24. Дисперсията на стойностите с резултатите по математика би изглеждала така:

$$\begin{array}{r}Var(\text{Математика})=\frac{1}{10}((5-5,1{)}^2+(6-5,1{)}^2+(5-5,1{)}^2+\\ (5-5,1{)}^2+(5-5,1{)}^2+(6-5,1{)}^2+\\ (5-5,1{)}^2+(5-5,1{)}^2+(5-5,1{)}^2+\\ (4-5,1{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 2,9=0,29\end{array}$$

Дисперсията е 0,29. Виждаме, че дисперсията при тази съвкупност е, според очакванията, много по-малка.

Как да изчислим дисперсия в Excel

В Excel за това служи функцията VAR или някой от другите ѝ варианти. Например при VAR.P като параметър задаваме избрани клетки.