Rata-rata harmonik

Rata-rata harmonik adalah salah satu jenis rata-rata yang biasanya kita pakai ketika bekerja dengan perbandingan.

Kelajuan rata-rata

Sebagai contoh, bayangkan kita naik kereta untuk berwisata, dan kelajuan rata-rata kereta itu 120 km/jam. Pulangnya kita naik kereta lagi lewat rute yang sama, tetapi kali ini keretanya berjalan pelan, hanya 40 km/jam. Berapa kelajuan rata-rata kereta untuk seluruh perjalanan pergi dan pulang? Kita mudah tergoda menghitung kelajuan rata-rata dengan rata-rata hitung seperti ini

$$\frac{120\text{km}/\text{jam}+40\text{km}/\text{jam}}{2}=80\text{km}/\text{jam}$$

lalu mengatakan bahwa kelajuan rata-ratanya 80 km/jam. Sayangnya, itu tidak benar. Hal ini mudah ditunjukkan. Misalkan perjalanan pergi ditempuh kereta dalam satu jam. Karena kelajuan rata-ratanya 120 km/jam, artinya dalam satu jam itu kereta menempuh jarak 120 km. Jika pada perjalanan pulang kelajuan rata-ratanya 40 km/jam, kereta itu pasti menempuh 120 km dalam 3 jam. Jadi, secara keseluruhan kereta menempuh 240 km dalam 4 jam. Dari sini kita bisa menghitung kelajuan rata-ratanya

$$\frac{240\text{km}}{4\text{jam}}=60\text{km}/\text{jam}$$

Jadi, rata-rata hitung tidak bisa diandalkan di sini. Lalu, bagaimana cara menghitung rata-rata dua kelajuan 120 dan 40 agar hasilnya benar?

Rata-rata harmonik

Sebagai pengganti rata-rata hitung, kita bisa memakai rata-rata harmonik. Rata-rata ini dihitung dengan membentuk pecahan yang pembilangnya adalah banyak nilai yang akan dirata-ratakan. Dalam contoh kita, pembilangnya 2 karena ada dua kelajuan:

$$\frac{2}{?}$$

Penyebutnya adalah jumlah kebalikan kedua kelajuan. Jika kelajuannya 120, kebalikannya adalah 120⁻¹, yaitu $\frac{1}{120}$. Kita peroleh pecahan

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Pecahan-pecahan di penyebut kita samakan penyebutnya:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Sekarang pecahan-pecahan itu mudah dijumlahkan:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Pecahan ini memang terlihat aneh, tetapi jangan khawatir, hasilnya akan baik-baik saja. Pecahan ini kita ubah menjadi bentuk perkalian seperti ini:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Jika langkah ini membingungkan, ingatlah bahwa membagi dengan setengah sama saja dengan mengalikan dengan dua. Jadi, membagi 2 dengan pecahan $\frac{4}{120}$ sama dengan mengalikan 2 dengan kebalikannya, yaitu $\frac{120}{4}$. Sekarang kita tinggal menyederhanakan pecahannya untuk mendapatkan hasil akhir:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Rata-rata harmoniknya adalah 60, dan itulah hasil yang benar.

Rumus umum rata-rata harmonik

Misalkan ada n bilangan x₁, x₂, …, x_n. Rata-rata harmoniknya, H, dihitung sebagai

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Jika kamu suka notasi sigma, rata-rata harmonik juga bisa ditulis seperti ini:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Sebagai contoh, rata-rata harmonik dari empat nilai 1, 2, 3, 4 adalah

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$