Calcolatrice: distribuzione binomiale

Fai un test con cinque domande, ognuna con quattro risposte possibili. Non hai studiato per niente, quindi rispondi a caso. Con quale probabilità indovini esattamente due domande? A questo serve la distribuzione binomiale: su n prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo p, calcola la probabilità di ottenere esattamente k successi.

Inserisci la probabilità p in percentuale. La calcolatrice accetta anche le frazioni, quindi un quarto si può scrivere come 25 oppure 100/4, un terzo come 100/3.

Come si calcola

La calcolatrice usa la formula

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

La probabilità di indovinare due domande ben precise e sbagliare le altre tre è ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{1024}$. Le due risposte corrette si possono distribuire tra le cinque domande in $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$ modi, quindi moltiplichiamo questa probabilità per dieci:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx \mathrm{0,263}7$$

Rispondendo a caso, indovini esattamente due domande su cinque con probabilità circa 26,37%. Se ti interessa «almeno una volta», è più rapida la calcolatrice della probabilità che accada almeno una volta. Somme del tipo «almeno tre» si calcolano sommando i risultati per tre, quattro e cinque successi, come mostra l’articolo Distribuzione binomiale.