Αριθμομηχανή: διωνυμική κατανομή

Γράφεις ένα τεστ με πέντε ερωτήσεις, καθεμία έχει τέσσερις επιλογές και δεν έχεις διαβάσει καθόλου, οπότε μαντεύεις. Με ποια πιθανότητα θα απαντήσεις σωστά σε ακριβώς δύο ερωτήσεις; Γι' αυτό υπάρχει η διωνυμική κατανομή: από ν ανεξάρτητες δοκιμές, καθεμία από τις οποίες πετυχαίνει με πιθανότητα p, υπολογίζει την πιθανότητα να πετύχουν ακριβώς κ.

Την πιθανότητα p γράψε σε ποσοστό. Η αριθμομηχανή δέχεται και κλάσμα, οπότε το ένα τέταρτο μπορείς να το γράψεις ως 25 ή 100/4 και το ένα τρίτο ως 100/3.

Πώς υπολογίζεται

Η αριθμομηχανή υπολογίζει με τον τύπο

$$P(X=\kappa )=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\nu }{\kappa })\cdot p^{\kappa }\cdot (1-p{)}^{\nu -\kappa }$$

Η πιθανότητα να απαντήσουμε σωστά σε δύο συγκεκριμένες ερωτήσεις και λάθος στις άλλες τρεις είναι ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{1024}$. Οι δύο σωστές απαντήσεις όμως μπορούν να κατανεμηθούν στις πέντε ερωτήσεις με $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$ τρόπους, οπότε αυτή την πιθανότητα την πολλαπλασιάζουμε επί δέκα:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx \mathrm{0,263}7$$

Αν μαντεύεις, θα απαντήσεις σωστά σε ακριβώς δύο από τις πέντε ερωτήσεις με πιθανότητα περίπου 26,37%. Αν σε ενδιαφέρει το «τουλάχιστον μία φορά», πιο γρήγορη είναι η αριθμομηχανή για την πιθανότητα να συμβεί κάτι τουλάχιστον μία φορά. Αθροίσματα όπως «τουλάχιστον τρεις» τα βρίσκεις προσθέτοντας τα αποτελέσματα για τρεις, τέσσερις και πέντε επιτυχίες, όπως δείχνει το άρθρο Διωνυμική κατανομή.