Calculatrice : loi binomiale

Imagine que tu passes un test de cinq questions, chacune avec quatre réponses possibles, et que tu n’as rien appris : tu réponds au hasard. Avec quelle probabilité trouveras-tu exactement deux bonnes réponses ? C’est le rôle de la loi binomiale : pour n essais indépendants, dont chacun réussit avec une probabilité p, elle donne la probabilité d’obtenir exactement k succès.

Saisis la probabilité p en pourcentage. La calculatrice accepte aussi une fraction : tu peux écrire un quart comme 25 ou 100/4, un tiers comme 100/3.

Comment on calcule

La calculatrice utilise la formule

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

La probabilité de réussir deux questions données et de rater les trois autres est ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{1024}$. Mais ces deux bonnes réponses peuvent être réparties entre les cinq questions de $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$ façons, donc on multiplie cette probabilité par dix :

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx \mathrm{0,263}7$$

En répondant au hasard, tu auras exactement deux bonnes réponses sur cinq avec une probabilité d’environ 26,37 %. Si tu t’intéresses à « au moins une fois », la calculatrice de la probabilité qu’un événement se produise au moins une fois est plus rapide. Pour les sommes du type « au moins trois », additionne les résultats pour trois, quatre et cinq succès, comme le montre l’article Loi binomiale.