Kalkulačka: binomické rozdělení

Píšete test s pěti otázkami, každá má čtyři možnosti a vy jste se vůbec neučili, takže tipujete. S jakou pravděpodobností trefíte právě dvě otázky? Na to je binomické rozdělení: z n nezávislých pokusů, z nichž každý vyjde s pravděpodobností p, počítá šanci, že se povede právě k.

Pravděpodobnost p zadávejte v procentech. Kalkulačka bere i zlomek, takže čtvrtinu můžete zapsat jako 25 nebo 100/4, třetinu jako 100/3.

Jak se to počítá

Kalkulačka počítá podle vzorce

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

Pravděpodobnost, že trefíme dvě konkrétní otázky a zbylé tři pokazíme, je ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{1024}$. Dvě správné odpovědi se ale mezi pět otázek mohou rozmístit $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$ způsoby, a tak tuhle pravděpodobnost vynásobíme deseti:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\doteq \mathrm{0,263}7$$

Při tipování trefíte právě dvě otázky z pěti s pravděpodobností asi 26,37 %. Pokud vás zajímá „aspoň jednou“, je rychlejší kalkulačka pravděpodobnosti, že to nastane aspoň jednou. Součty typu „aspoň tři“ si spočítáte tak, že sečtete výsledky pro tři, čtyři a pět úspěchů, jak ukazuje článek Binomické rozdělení.