Calculadora de distribución binomial

Estás haciendo un test de cinco preguntas, cada una con cuatro opciones, y no has estudiado nada, así que contestas al azar. ¿Con qué probabilidad aciertas justo dos? Para eso sirve la distribución binomial: a partir de n ensayos independientes, cada uno con probabilidad p de éxito, calcula la probabilidad de conseguir exactamente k éxitos.

Introduce la probabilidad p en porcentaje. La calculadora también acepta fracciones: un cuarto puedes escribirlo como 25 o como 100/4, y un tercio como 100/3.

Cómo se calcula

La calculadora usa la fórmula

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

La probabilidad de acertar dos preguntas concretas y fallar las otras tres es ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{1024}$. Pero las dos respuestas correctas pueden colocarse entre las cinco preguntas de $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$ formas, así que multiplicamos esta probabilidad por diez:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx \mathrm{0,263}7$$

Contestando al azar, aciertas exactamente dos preguntas de cinco con probabilidad de unos 26,37 %. Si lo que te interesa es «al menos una vez», es más rápida la calculadora de probabilidad de que ocurra al menos una vez. Las sumas del tipo «al menos tres» se calculan sumando los resultados para tres, cuatro y cinco aciertos, como muestra el artículo Distribución binomial.