Rozkład dwumianowy (kalkulator)

Piszesz test z pięciu pytań, każde ma cztery odpowiedzi, a ty wcale się nie uczyłeś, więc zgadujesz. Z jakim prawdopodobieństwem trafisz dokładnie dwa pytania? Na to odpowiada rozkład dwumianowy: z n niezależnych prób, z których każda kończy się sukcesem z prawdopodobieństwem p, liczy szansę, że uda się dokładnie k.

Prawdopodobieństwo p wpisuj w procentach. Kalkulator przyjmuje też ułamek, więc jedną czwartą zapiszesz jako 25 albo 100/4, jedną trzecią jako 100/3.

Jak to się liczy

Kalkulator oblicza według wzoru

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

Prawdopodobieństwo, że trafimy dwa konkretne pytania, a na pozostałe trzy odpowiemy źle, wynosi ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{1024}$. Dwie poprawne odpowiedzi mogą się jednak rozmieścić wśród pięciu pytań na $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$ sposobów, więc tę wartość mnożymy przez dziesięć:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx \mathrm{0,263}7$$

Przy zgadywaniu trafisz dokładnie dwa pytania z pięciu z prawdopodobieństwem około 26,37%. Jeśli interesuje cię „co najmniej raz”, szybciej policzysz to kalkulatorem prawdopodobieństwa co najmniej jednego sukcesu. Sumy typu „co najmniej trzy” obliczysz, dodając wyniki dla trzech, czterech i pięciu sukcesów, jak pokazuje artykuł Rozkład dwumianowy.