Interesse composto

L’interesse si compone quando dobbiamo applicarlo più volte. Se abbiamo un debito che viene capitalizzato una volta all’anno e restiamo in debito per cinque anni, il debito sarà capitalizzato cinque volte: parliamo allora di interesse composto.

Interesse composto

Quando il debito residuo viene capitalizzato più volte, si parla di interesse composto. Nella formula precedente usavamo le percentuali; in quella che segue sarà più semplice trasformare la percentuale in un normale numero decimale. Lo facciamo in modo semplice: dividiamo la percentuale per cento. Se avevamo un interesse del 50%, ottieni il valore 0,5, cioè un mezzo. Se l’interesse era del 7%, ottieni il numero 0,07. Questo numero decimale lo indicherò con la lettera «i». La formula potrebbe essere questa:

$$i=\frac{\text{tasso di interesse}}{100}$$

Se moltiplichiamo il debito residuo per questo numero, otteniamo direttamente l’interesse. Supponiamo che lo zio Vittorio ci abbia prestato ottantamila euro con un interesse annuo del 10%. In numero decimale, 0,1. Dopo un anno abbiamo quindi un interesse di 80.000 · 0,1 = 8000. Cioè pagheremo 8000 in più di quanto abbiamo preso in prestito. Quale sarà l’interesse l’anno successivo? Dobbiamo prendere la somma iniziale, aggiungere il primo interesse e moltiplicare di nuovo per 0,1:

$$(80.000+8000)\cdot 0,1=8800$$

Un anno dopo pagheremmo già 8800 di interessi, cioè più che nel primo anno.

Se vogliamo ottenere direttamente il debito residuo, e non solo l’interesse, basta sommare uno al tasso di interesse in forma di numero decimale e moltiplicare il debito residuo per questa espressione:

$$80.000\cdot 1,1=88.000$$

Dopo il primo anno dovremmo quindi 88.000. Se vogliamo calcolare il debito residuo dopo tre anni, moltiplichiamo per 1,1 più volte di seguito:

$$((80.000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=106.480$$

Da qui la formula comincia a delinearsi, perché nella moltiplicazione non contano né l’ordine né le parentesi, quindi possiamo riscrivere l’espressione così:

$$80.000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

E questa la riscriviamo con le potenze:

$$80.000\cdot 1,1^3$$

Da qui possiamo ricavare senza difficoltà la formula generale.

La formula finale dell’interesse composto

Ecco la formula completa dell’interesse composto, che spiego subito dopo:

$$C_t=C_0\cdot (1+i{)}^t$$

La lettera «C» rappresenta il capitale, cioè il debito residuo. L’indice in basso indica quante capitalizzazioni sono già avvenute. Il simbolo C₀ designa quindi la somma che non ha ancora subìto nessuna capitalizzazione: è la somma che abbiamo ricevuto all’inizio (gli ottantamila euro dello zio Vittorio). La lettera «t» indica il numero di capitalizzazioni che vogliamo calcolare. Se vogliamo fare il calcolo per dieci anni, varrà t = 10. Il simbolo C_t designa allora il debito residuo risultante dopo t capitalizzazioni. La lettera «i» indica il tasso di interesse in notazione decimale (vedi sopra).

Proviamo a calcolare quanti interessi pagheremmo se restituissimo l’intera somma allo zio Vittorio solo dopo 15 anni:

$$C_t=C_0\cdot (1+i{)}^t=80.000\cdot (1+0,1{)}^{15}=334.179,85$$

Ti avverto che questo non è direttamente l’interesse, ma il debito residuo risultante. Se volessimo solo l’interesse, dovremmo sottrarre il debito iniziale, cioè ancora meno ottantamila euro: 254.179,85.

Esempio

Marco voleva comprarsi un’auto nuova e, naturalmente, non aveva i soldi, così si fece prestare ventimila euro, 20.000. Il tasso di interesse era dell’8% e la capitalizzazione avveniva ogni anno. Marco spendeva molto, perciò il primo anno restituì solo ottocento euro, 800. Il debito residuo scese a 19.200. Ma a fine anno ci fu la capitalizzazione e l’interesse risultò 19.200 · 0,08 = 1536. A Capodanno Marco doveva quindi già 19.200 + 1536 = 20.736. È più di quanto doveva all’inizio.

La cosa non preoccupò Marco per niente e restituì di nuovo solo 800. Doveva quindi 19.936. Dopo la capitalizzazione salì a 21.530,88. Il debito residuo era più alto dell’anno prima e di quello prima ancora. Marco non se ne accorse e continuò a restituire solo 800 all’anno. Pagò così per tutta la vita e morì comunque con un enorme debito. Meglio non fare così.

Per approfondire

All’interesse composto è strettamente legato il numero di Nepero. Non dimenticare quindi di leggere da dove viene il numero di Nepero. E l’interesse composto ti servirà se vorrai sapere come calcolare gli interessi di un mutuo.