Funzioni logaritmiche

La funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale.

Che cos’è il logaritmo

La funzione logaritmica si scrive con l’abbreviazione log; se si tratta del logaritmo naturale (vedi più avanti), si indica con ln. L’espressione fondamentale della funzione logaritmica è questa:

$$y={\log }_{a}x$$

Questa scrittura si legge: «Logaritmo in base a di x». Questa funzione logaritmica è inversa della funzione esponenziale f(x) = a^x. Il valore della funzione logaritmica si chiama logaritmo.

Poiché la funzione logaritmica è inversa di quella esponenziale, deve valere la seguente equivalenza:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Quindi, se il valore a^y è uguale a x, allora il logaritmo in base a di x è uguale a y. Proviamo a vedere qualche esempio. Prendiamo la funzione esponenziale f(x) = 2^x. Che aspetto avrebbe la funzione inversa (logaritmica)? Questo: f⁻¹(x) = log₂x. Se nella funzione esponenziale sostituiamo il tre, otteniamo: f(3) = 2³ = 8.

Quale relazione deve valere ora? Deve valere che, se nella funzione inversa f⁻¹ inseriamo l’otto, la funzione logaritmica deve restituirci il tre. Perché il numero 3 era l’argomento della funzione esponenziale e il numero 8 era il risultato. La funzione inversa si comporta al contrario: l’input è il numero 8 e l’output è il numero 3. Per ora puoi verificare che è davvero così, per esempio, su Google (lg indica il logaritmo in base due).

Quindi, se scriviamo 2³ = 8, la funzione logaritmica inversa ci dà la relazione: log₂8 = 3. Che cos’è dunque il logaritmo? Il logaritmo è l’esponente al quale dobbiamo elevare la base per ottenere l’argomento x.

Funzioni logaritmiche importanti

Alcune funzioni logaritmiche sono particolarmente importanti. Si tratta in particolare del «logaritmo naturale», che ha come base il numero di Nepero. Lo indichiamo con la lettera e. È un numero irrazionale, cioè un numero con uno sviluppo decimale illimitato non periodico. Il suo valore approssimato è: e = 2,718 281.828…. Il logaritmo naturale si scrive come log_ex oppure, più semplicemente, come ln x. La «n» deriva dal latino «logarithmus naturalis»; per ricordarlo ti basta il nome «logaritmo naturale».

Un altro logaritmo importante è il «logaritmo decimale», cioè la funzione logaritmica in base dieci. Lo scriviamo come log₁₀x, a volte abbreviato in Logx.

Proprietà della funzione logaritmica

Come già sappiamo, la funzione logaritmica è inversa di quella esponenziale. Per questo eredita anche alcune sue proprietà e limitazioni. Sappiamo che la funzione esponenziale ha la forma f(x) = a^x, dove a è un numero reale maggiore di zero e diverso da uno. Per questo anche la base del logaritmo a deve essere maggiore di zero e diversa da uno. Scriviamo quindi ancora una volta la funzione logaritmica:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Poiché si tratta di una funzione inversa, conosciamo già anche il dominio e l’insieme immagine. Il dominio della funzione logaritmica è uguale all’insieme immagine della funzione esponenziale, quindi il dominio della funzione logaritmica è (0; +∞). L’insieme immagine del logaritmo è invece uguale al dominio della funzione esponenziale, cioè l’insieme di tutti i numeri reali.

Grafici delle funzioni logaritmiche

Come per la funzione esponenziale dobbiamo distinguere due casi: quando la base a appartiene all’intervallo (0; 1) e quando appartiene all’intervallo (1; +∞). Nel primo caso, cioè quando a appartiene all’intervallo (0; 1), il grafico ha questo aspetto:

Nel caso in cui la base a appartenga all’intervallo (1; +∞), il grafico ha questo aspetto:

Osserva ancora il grafico della funzione esponenziale e della sua inversa logaritmica nello stesso grafico (in blu il logaritmo, in rosso la funzione esponenziale):

Perché i grafici passano per il punto (1; 0)

Entrambi i grafici intersecano l’asse x nel punto x = 1. È giusto, dato che ogni funzione esponenziale passa per il punto (0; 1). Poiché il logaritmo è la funzione inversa, questa funzione deve passare sempre per il punto (1; 0). Ha la sua logica. Se il grafico passa per il punto (1; 0), significa che per l’input x = 1 abbiamo l’output f(x) = 0.

Nel caso dei logaritmi significa che cerchiamo l’esponente al quale, elevando la base, otteniamo uno. Qual è questo esponente? Solo lo zero. Qualsiasi numero elevato a zero fa uno, perciò, qualunque sia la base, la funzione logaritmica passerà per il punto (1; 0), perché qualsiasi numero elevato a zero fa uno. (Nota: non dimenticare che la base non può essere proprio qualsiasi: a>0 e a ≠ 1.)

Proprietà dei logaritmi (formule)

Seguono alcune relazioni e formule importanti che valgono per i logaritmi:

Supponiamo che la base a sia davvero la base di un logaritmo, cioè a>0, a ≠ 1. Siano inoltre x₁ e x₂ numeri reali positivi qualsiasi. Allora vale:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Alcune relazioni che derivano direttamente dalla definizione di logaritmo:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Come esprimere un altro logaritmo con il logaritmo naturale

Capita che, per esempio, sulla calcolatrice non abbiamo a disposizione il logaritmo in una base qualsiasi, ma solo quello naturale e quello decimale. Che cosa fare se devi calcolare un logaritmo in un’altra base? Esiste una formula che ti aiuta. Vale infatti che:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Se per b scegliamo il numero di Nepero, otteniamo la formula:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

Nel primo capitolo dovevamo calcolare il logaritmo del numero 8 in base 2. Con il logaritmo naturale possiamo calcolarlo così:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Il calcolo possiamo di nuovo controllarlo su Google. Non è però necessario usare il logaritmo naturale: puoi usare tranquillamente anche quello decimale, la formula lo permette. Quindi vale ugualmente:

$${\log }_{2}8=\frac{{\log }_{10}8}{{\log }_{10}2}=3$$

(Ricorda che il logaritmo decimale ha base a = 10.) Di nuovo, controllo su Google.