Come calcolare gli interessi di un mutuo

Un normale mutuo è un prestito che richiediamo quando vogliamo comprare un immobile, tipicamente una casa o un appartamento. Vediamo come si calcolano gli interessi che dovrai pagare per il mutuo.

Interesse annuo e capitalizzazione mensile

Ogni mutuo ha un tasso di interesse annuo, espresso in percentuale. Puoi vedere, per esempio, la pubblicità di un mutuo al tasso annuo del 3%. «Annuo» significa che il tasso si riferisce a un anno intero. Detto in modo semplificato e impreciso, se prendi in prestito 40.000 €, in un anno pagherai il 3% di interessi, cioè 1200 €.

In realtà non pagherai esattamente 1200 €, ma meno. Un normale mutuo si paga mese per mese e la banca ti calcola gli interessi con la stessa frequenza. Invece di calcolarti un unico interesse annuo, ti calcola dodici interessi mensili. E poiché tu estingui il mutuo a poco a poco, devi alla banca sempre meno soldi e perciò anche l’importo degli interessi è sempre più basso. Vediamolo con un esempio. Prendi in prestito 40.000 € con un interesse annuo del 3% e una rata di 400 € al mese. A quanto ammonterà il primo interesse?

La prima rata

Per prima cosa calcoliamo il tasso di interesse mensile. Si ottiene dividendo il tasso annuo per dodici:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Il tasso di interesse mensile è quindi dello 0,25%. Per il primo mese pagheremo alla banca lo 0,25% di quello che le dobbiamo ancora, cioè di 40.000 €. Lo 0,25% lo calcoliamo così:

$$40.000\cdot 0,25\mathrm{\%}=40.000\cdot \mathrm{0,002}5=100$$

Per il primo mese paghiamo alla banca 100 € di interessi. Poiché la nostra rata mensile è di 400 €, dopo il primo mese dobbiamo alla banca

$$40.000+100-400=39.700$$

39.700 €. La nostra prima rata si compone quindi di 100 € andati agli interessi e 300 € con cui abbiamo ammortizzato il nostro debito verso la banca. A questi 300 € diamo il nome di quota capitale (o ammortamento).

La seconda rata

Come andrebbe il secondo mese? Il tasso di interesse mensile non cambia, è sempre lo 0,25%. Cambia invece la somma che dobbiamo alla banca per il mutuo. Questa somma si chiama capitale residuo e dopo il primo mese è di 39.700 €. Il nuovo interesse mensile lo calcoliamo esattamente come il primo mese, solo che al posto di 40.000 € useremo 39.700 €, cioè calcoliamo lo 0,25% di 39.700 €:

$$39.700\cdot 0,25\mathrm{\%}=39.700\cdot \mathrm{0,002}5=99,25$$

Il secondo mese l’interesse è quindi di soli 99,25 € invece di 100 €, perché abbiamo già ammortizzato una parte del debito e il capitale residuo è più piccolo. La quota capitale sarà uguale a

$$400-99,25=300,75$$

Il secondo mese abbiamo quindi rimborsato una parte del mutuo maggiore del primo mese e in totale ora dobbiamo solo

$$39.700-300,75=39.399,25$$

Le rate successive…

Le rate successive si calcolano sempre allo stesso modo, finché non arriviamo a zero. Il terzo mese calcoleremmo l’interesse così:

$$39.399,25\cdot 0,25\mathrm{\%}=39.399,25\cdot \mathrm{0,002}5=98,50$$

Vediamo che l’interesse di 98,50 € è di nuovo un po’ più piccolo di quello del mese precedente e, al contrario, la quota capitale di 301,50 € è di nuovo un po’ più grande. Ogni mese l’interesse sarà più piccolo, perché dobbiamo alla banca sempre meno soldi. E la quota capitale sarà sempre più grande: col passare del tempo estinguiamo il mutuo sempre più in fretta, perché paghiamo meno soldi di interessi e più soldi vanno a ridurre il capitale.

Possiamo notare che, anche se l’interesse annuo era del 3%, non pagheremo 1200 € di interessi. Per pagare 1200 € di interessi dovremmo pagare 100 € di interessi ogni mese. Noi invece ogni mese paghiamo sempre meno e alla fine pagheremo meno di 1200 € di interessi.

In pratica questo è tutto ciò che ti serve sapere per capire come si calcolano gli interessi di un mutuo. Ma vediamo ancora alcune curiosità.

Calcolo esatto dell’interesse mensile

All’inizio abbiamo detto che l’interesse mensile si calcola come

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

È il calcolo che usano le banche, ma matematicamente non è corretto. Le banche lo usano più che altro per ragioni storiche, perché dividere per dodici è semplicemente più facile del procedimento matematicamente corretto. Che cosa vogliamo ottenere quando calcoliamo l’interesse mensile? L’interesse annuo del 3% su 40.000 € ci dice che in un anno il cliente pagherebbe 1200 € di interessi. Immaginiamo che il cliente per tutto l’anno non paghi il mutuo e lasci semplicemente che gli interessi vengano aggiunti. Quale tasso di interesse mensile dovremmo avere per accumulare dopo dodici mesi esattamente 1200 € di interessi? Se usiamo la nostra formula «diviso dodici», otteniamo infatti più di 1200 €. Verifichiamolo:

Per prima cosa vediamo come aggiungere semplicemente gli interessi al capitale. Se abbiamo calcolato il tasso di interesse mensile come 0,25%, la somma finale dopo aver aggiunto gli interessi si ottiene moltiplicando il capitale per 1,0025:

$$40.000\cdot \mathrm{1,002}5=40.100$$

Dopo due mesi senza pagare rate il capitale sarà uguale a

$$40.000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=40.200,25$$

Cioè moltiplichiamo i 40.000 € per il numero 1,0025 tante volte quante sono le capitalizzazioni che vogliamo applicare. Per semplificare possiamo usare le potenze, perché sappiamo che

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

e quindi possiamo scrivere

$$40.000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=40.200,25$$

Noi vogliamo sapere a quanto ammonterebbe la somma dopo 12 mesi:

$$40.000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}=41.216,64$$

Vediamo che dopo 12 mesi il capitale sarebbe uguale a 41.216,64 €, cioè 16,64 € in più di quanto dovrebbe essere. Beh… non è una differenza molto grande, ammettiamolo, ma insomma il risultato corretto non è questo. Come si corregge?

Torniamo al tasso di interesse annuo del nostro mutuo. Se vogliamo sapere quanto sarebbe il capitale applicandogli un interesse annuo del tre per cento, possiamo scriverlo così:

$$40.000\cdot 1,03=41.200$$

Ora vogliamo scomporre il numero 1,03 in un prodotto di dodici numeri uguali, ottenendo così uno più il tasso di interesse mensile. Cioè, il prodotto di quali dodici numeri uguali ci dà come risultato 1,03? È la radice dodicesima di 1,03:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Possiamo calcolare che la radice dodicesima di 1,03 è 1,0024662 e qualcosa, il che non è certo una grande differenza rispetto al numero 1,0025 che abbiamo ottenuto con il nostro metodo del dividere per dodici. Ma è il risultato corretto: se il nostro tasso di interesse mensile fosse uguale a $\sqrt[12]{1,03}-1$, il capitale dopo un anno senza pagare rate aumenterebbe esattamente del tre per cento.

Interesse giornaliero e interesse mensile

Una curiosità è che alcune banche calcolano l’interesse mensile dei mutui in modo un po’ diverso. Calcolare l’interesse mensile dividendo l’interesse annuo per dodici ha infatti un effetto collaterale: per tutti i mesi otteniamo lo stesso tasso, benché i mesi abbiano durate diverse. Febbraio e luglio ricevono lo stesso tasso. Come uscirne? Alcune banche lo risolvono dividendo l’interesse annuo per 360, ottenendo così il tasso giornaliero, e moltiplicando poi questo tasso giornaliero per il numero di giorni del mese.

Perché dividono per 360 e non per 365 o 366? Perché, di nuovo, è più comodo da calcolare.