Paradosso del mentitore probabilistico

Questo esempio è simile al classico paradosso del mentitore, solo che è trasposto in chiave probabilistica.

Testo

Se scegli a caso una risposta a questa domanda, qual è la probabilità che sia corretta?

• A) 25%
• B) 50%
• C) 0%
• D) 25%

Il paradosso del mentitore originale

L’esempio soffre del problema classico dei quesiti che fanno riferimento a se stessi. Per questo abbiamo citato sopra il paradosso del mentitore, che si può formulare così: «Questa frase è falsa». Il paradosso sta nel fatto che, se la frase è davvero falsa, allora la frase dice il vero. Ma se la frase dice il vero, allora non può essere vera, visto che afferma essa stessa di essere falsa!

Soluzione

Nella soluzione assumiamo una distribuzione di probabilità uniforme, quindi ogni risposta può essere scelta a caso con probabilità 25%.

• Supponiamo che la risposta A sia corretta. Qui è importante che nella risposta D ci sia la stessa percentuale, quindi la probabilità di scegliere una risposta con 25% è 50%. Perciò né la risposta A né la D possono essere corrette.
• La probabilità di scegliere la risposta B è 25%. Perciò nemmeno la risposta B può essere corretta, perché dice che abbiamo una probabilità del 50% di scegliere la risposta giusta.
• La probabilità di scegliere la risposta C è 25%. Perciò nemmeno la risposta C può essere corretta, perché dice che abbiamo una probabilità dello 0% di scegliere la risposta giusta.

Come si vede, nessuna delle risposte è corretta. Che probabilità abbiamo allora di scegliere la risposta giusta? Se nessuna delle risposte è corretta, abbiamo una probabilità dello 0% di scegliere la risposta giusta. Il che però è in contraddizione con il fatto che in realtà abbiamo una probabilità del 25% di scegliere la risposta che dice che abbiamo una probabilità dello 0%.

L’esercizio quindi non ha soluzione, è un bel paradosso, simile al classico paradosso del mentitore.