Paradoja probabilística del mentiroso

Este ejemplo es parecido a la clásica paradoja del mentiroso, solo que trasladado a la probabilidad.

Enunciado

Si eliges al azar una respuesta a esta pregunta, ¿qué probabilidad hay de que dicha respuesta sea correcta?

• A) 25 %
• B) 50 %
• C) 0 %
• D) 25 %

La paradoja original del mentiroso

El ejemplo adolece del problema clásico de los enunciados que se refieren a sí mismos. Por eso hemos mencionado más arriba la paradoja del mentiroso, que puede formularse así: «Esta frase es falsa». La paradoja está en que, si la frase es realmente falsa, entonces la frase dice la verdad. Pero si la frase dice la verdad, entonces no puede ser verdadera, ¡pues ella misma afirma que es falsa!

Solución

En la solución suponemos una distribución uniforme de la probabilidad, de modo que cada respuesta puede elegirse al azar con probabilidad 25 %.

• Supongamos que la respuesta A es correcta. Lo esencial aquí es que en la respuesta D aparece el mismo porcentaje, así que la probabilidad de que elijamos la respuesta 25 % es 50 %. Por tanto, ni la respuesta A ni la D pueden ser correctas.
• La probabilidad de que elijamos la respuesta B es 25 %. Por tanto, tampoco la respuesta B puede ser correcta, porque ella dice que tenemos una probabilidad de 50% de elegir la respuesta correcta.
• La probabilidad de que elijamos la respuesta C es 25 %. Por tanto, tampoco la respuesta C puede ser correcta, porque ella dice que tenemos una probabilidad de 0% de elegir la respuesta correcta.

Como vemos, ninguna de las respuestas es correcta. ¿Qué probabilidad tenemos, entonces, de elegir la respuesta correcta? Si ninguna de las respuestas es correcta, tenemos una probabilidad de 0% de elegir la respuesta correcta. Lo cual contradice que en realidad tenemos una probabilidad de 25% de elegir la respuesta que dice que tenemos una probabilidad de 0%.

El problema no tiene, pues, solución; es una bonita paradoja, parecida a la clásica paradoja del mentiroso.