De leugenaarsparadox met kansen

Dit voorbeeld lijkt op de klassieke leugenaarsparadox, alleen is het omgezet naar kansrekening.

Opgave

Als je willekeurig een antwoord op deze vraag kiest, hoe groot is dan de kans dat dat antwoord goed is?

• A) 25%
• B) 50%
• C) 0%
• D) 25%

De oorspronkelijke leugenaarsparadox

Het voorbeeld heeft last van het klassieke probleem van opgaven die naar zichzelf verwijzen. Daarom noemden we hierboven de leugenaarsparadox, die kan luiden als: “Deze zin is onwaar”. Het paradoxale is dat als die zin echt onwaar is, de zin de waarheid spreekt. Maar als de zin de waarheid spreekt, kan hij toch niet waar zijn, want hij beweert van zichzelf dat hij onwaar is!

Oplossing

In de oplossing gaan we uit van een uniforme kansverdeling, dus elk antwoord kunnen we willekeurig kiezen met kans 25%.

• Stel dat antwoord A goed is. Het is hier essentieel dat in antwoord D hetzelfde percentage staat, dus de kans dat we het antwoord 25% kiezen is 50%. Daarom kan antwoord A, en ook D, niet goed zijn.
• De kans dat we antwoord B kiezen is 25%. Daarom kan ook antwoord B niet goed zijn, want dat zegt dat we 50% kans hebben om het goede antwoord te kiezen.
• De kans dat we antwoord C kiezen is 25%. Daarom kan ook antwoord C niet goed zijn, want dat zegt dat we 0% kans hebben om het goede antwoord te kiezen.

Zoals we zien, is geen enkel antwoord goed. Hoe groot is dan de kans dat we het goede antwoord kiezen? Als geen enkel antwoord goed is, hebben we 0% kans dat we het goede antwoord kiezen. Dat is echter in tegenspraak met het feit dat we in werkelijkheid 25% kans hebben dat we het antwoord kiezen dat zegt dat we 0% kans hebben.

De opgave heeft dus geen oplossing, het is een mooie paradox, net als de klassieke leugenaarsparadox.