Wahrscheinlichkeitstheoretisches Lügner-Paradox

Dieses Beispiel ist dem klassischen Lügner-Paradox ähnlich, nur ist es in die Wahrscheinlichkeitsrechnung übertragen.

Aufgabenstellung

Wenn du eine Antwort auf diese Frage zufällig auswählst, wie groß ist die Chance, dass die gewählte Antwort richtig ist?

• A) 25 %
• B) 50 %
• C) 0 %
• D) 25 %

Das ursprüngliche Lügner-Paradox

Das Beispiel leidet unter dem klassischen Problem von Aufgaben, die sich auf sich selbst beziehen. Deshalb wurde oben das Lügner-Paradox erwähnt, das etwa so lauten kann: „Dieser Satz ist falsch.“ Das Paradox besteht darin, dass der Satz die Wahrheit sagt, wenn er wirklich falsch ist. Sagt der Satz aber die Wahrheit, dann kann er doch nicht wahr sein, schließlich behauptet er das von sich selbst!

Lösung

In der Lösung setzen wir eine Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit voraus, sodass wir jede Antwort mit der Wahrscheinlichkeit 25 % zufällig wählen können.

• Nehmen wir an, die Antwort A ist richtig. Wichtig ist dabei, dass in der Antwort D derselbe Prozentsatz steht, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass wir die Antwort 25 % wählen, 50 % beträgt. Deshalb kann weder die Antwort A noch D richtig sein.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass wir die Antwort B wählen, beträgt 25 %. Deshalb kann auch die Antwort B nicht richtig sein, denn sie sagt, dass wir eine Chance von 50% haben, die richtige Antwort zu wählen.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass wir die Antwort C wählen, beträgt 25 %. Deshalb kann auch die Antwort C nicht richtig sein, denn sie sagt, dass wir eine Chance von 0% haben, die richtige Antwort zu wählen.

Wie man sieht, ist keine der Antworten richtig. Welche Chance haben wir also, die richtige Antwort zu wählen? Wenn keine der Antworten richtig ist, haben wir eine Chance von 0%, die richtige Antwort zu wählen. Das ist allerdings ein Widerspruch dazu, dass wir in Wirklichkeit mit der Wahrscheinlichkeit 25% die Antwort wählen, die sagt, dass wir eine Chance von 0% haben.

Die Aufgabe hat also keine Lösung, es ist ein schönes Paradox, ähnlich wie das klassische Lügner-Paradox.