Paradoxe probabiliste du menteur

Cet exemple ressemble au paradoxe classique du menteur, mais il est transposé dans le domaine des probabilités.

Énoncé

Si tu choisis au hasard une réponse à cette question, quelle est la chance que cette réponse soit correcte ?

• A) 25 %
• B) 50 %
• C) 0 %
• D) 25 %

Paradoxe original du menteur

Cet exemple souffre du problème classique des énoncés qui se réfèrent à eux-mêmes. C’est pourquoi on a évoqué plus haut le paradoxe du menteur, qui peut s’énoncer ainsi : « Cette phrase est fausse ». Le paradoxe tient à ceci : si cette phrase est réellement fausse, alors elle dit vrai. Mais si elle dit vrai, elle ne peut pas être vraie, puisqu’elle affirme précisément cela !

Solution

Dans la solution, on suppose une répartition uniforme des probabilités : on peut donc choisir chaque réponse au hasard avec une probabilité de 25 %.

• Supposons que la réponse A soit correcte. Il est important de noter que la réponse D affiche le même pourcentage, de sorte que la probabilité de choisir une réponse à 25 % est de 50 %. Par conséquent, ni la réponse A ni la réponse D ne peuvent être correctes.
• La probabilité de choisir la réponse B est de 25 %. La réponse B ne peut donc pas non plus être correcte, puisqu’elle affirme que nous avons 50% de chances de choisir la bonne réponse.
• La probabilité de choisir la réponse C est de 25 %. La réponse C ne peut donc pas non plus être correcte, puisqu’elle affirme que nous avons 0% de chances de choisir la bonne réponse.

Comme on le voit, aucune réponse n’est correcte. Quelle est alors notre chance de choisir la bonne réponse ? Si aucune réponse n’est correcte, nous avons 0% de chances de choisir la bonne réponse. Mais cela contredit le fait que nous avons en réalité 25% de probabilité de choisir la réponse qui affirme que nous avons 0% de chances. Le problème n’a donc pas de solution : c’est un beau paradoxe, semblable au paradoxe classique du menteur.