Paradoxo do mentiroso probabilístico

Este exemplo é parecido com o paradoxo clássico do mentiroso, só que transferido para a probabilidade.

Enunciado

Se você escolher ao acaso uma resposta para esta pergunta, qual é a chance de que essa resposta esteja correta?

• A) 25%
• B) 50%
• C) 0%
• D) 25%

O paradoxo original do mentiroso

O exemplo sofre do problema clássico dos enunciados que se referem a si mesmos. Por isso mencionamos acima o paradoxo do mentiroso, que pode soar assim: “Esta frase é falsa”. O paradoxo está em que, se a frase é realmente falsa, então a frase diz a verdade. Mas, se a frase diz a verdade, então ela não pode ser verdadeira, afinal é ela mesma que afirma isso!

Solução

Na solução supomos uma distribuição uniforme de probabilidade, então cada resposta pode ser escolhida ao acaso com probabilidade 25%.

• Suponha que a resposta A esteja correta. Aqui é essencial que na resposta D haja a mesma porcentagem, de modo que a probabilidade de escolhermos a resposta 25% é 50%. Por isso nem a resposta A nem a D podem estar corretas.
• A probabilidade de escolhermos a resposta B é 25%. Por isso a resposta B também não pode estar correta, porque ela diz que temos 50% de chance de escolher a resposta correta.
• A probabilidade de escolhermos a resposta C é 25%. Por isso a resposta C também não pode estar correta, porque ela diz que temos 0% de chance de escolher a resposta correta.

Como vemos, nenhuma das respostas está correta. Qual é, então, a nossa chance de escolher a resposta correta? Se nenhuma das respostas está correta, temos 0% de chance de escolher a resposta correta. O que, porém, contradiz o fato de que, na verdade, temos 25% de probabilidade de escolher a resposta que diz que temos 0% de chance.

O problema, portanto, não tem solução, é um paradoxo bonito, como o paradoxo clássico do mentiroso.