Todennäköisyyspohjainen valehtelijan paradoksi

Tämä esimerkki on samankaltainen kuin klassinen valehtelijan paradoksi, vain siirretty todennäköisyyteen.

Tehtävä

Jos valitset vastauksen tähän kysymykseen satunnaisesti, kuinka suuri on mahdollisuus, että valittu vastaus on oikea?

• A) 25 %
• B) 50 %
• C) 0 %
• D) 25 %

Alkuperäinen valehtelijan paradoksi

Esimerkissä on itseensä viittaavien tehtävien klassinen ongelma. Siksi edellä mainittiin valehtelijan paradoksi, joka voi kuulua esimerkiksi näin: ”Tämä lause on epätosi”. Paradoksi on siinä, että jos tuo lause on todella epätosi, niin lause sanoo totuuden. Mutta jos lause sanoo totuuden, eihän se voi olla tosi, koska se väittää itse itsestään niin!

Ratkaisu

Ratkaisussa oletamme todennäköisyyden tasajakauman, joten jokaisen vastauksen voi valita satunnaisesti todennäköisyydellä 25 %.

• Oletetaan, että vastaus A on oikea. Tässä on olennaista, että vastauksessa D on sama prosentti, joten todennäköisyys, että valitsemme vastauksen 25 %, on 50 %. Siksi kumpikaan vastauksista A ja D ei voi olla oikea.
• Todennäköisyys, että valitsemme vastauksen B, on 25 %. Siksi myöskään vastaus B ei voi olla oikea, koska se sanoo, että meillä on 50% mahdollisuus valita oikea vastaus.
• Todennäköisyys, että valitsemme vastauksen C, on 25 %. Siksi myöskään vastaus C ei voi olla oikea, koska se sanoo, että meillä on 0% mahdollisuus valita oikea vastaus.

Kuten näemme, mikään vastauksista ei ole oikea. Kuinka suuri on siis mahdollisuutemme valita oikea vastaus? Jos mikään vastauksista ei ole oikea, meillä on 0% mahdollisuus valita oikea vastaus. Mikä on kuitenkin ristiriidassa sen kanssa, että meillä on todellisuudessa 25% todennäköisyys valita vastaus, joka sanoo, että meillä on 0% mahdollisuus.

Tehtävällä ei siis ole ratkaisua, se on kaunis paradoksi, samoin kuin klassinen valehtelijan paradoksi.