Πιθανοθεωρητικό παράδοξο του ψεύτη

Αυτό το παράδειγμα μοιάζει με το κλασικό παράδοξο του ψεύτη, μόνο που έχει μεταφερθεί στις πιθανότητες.

Εκφώνηση

Αν διαλέξεις τυχαία μια απάντηση σε αυτή την ερώτηση, ποια είναι η πιθανότητα η απάντηση που διάλεξες να είναι σωστή;

• Α) 25%
• Β) 50%
• Γ) 0%
• Δ) 25%

Το αρχικό παράδοξο του ψεύτη

Το παράδειγμα πάσχει από το κλασικό πρόβλημα των ασκήσεων που παραπέμπουν στον εαυτό τους. Γι' αυτό αναφέραμε παραπάνω το παράδοξο του ψεύτη, που μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: «Αυτή η πρόταση είναι ψευδής». Το παράδοξο βρίσκεται στο ότι, αν η πρόταση είναι πράγματι ψευδής, τότε η πρόταση λέει την αλήθεια. Αν όμως η πρόταση λέει την αλήθεια, τότε δεν μπορεί να είναι αληθής, αφού ισχυρίζεται η ίδια για τον εαυτό της ότι είναι ψευδής!

Λύση

Στη λύση υποθέτουμε ομοιόμορφη κατανομή της πιθανότητας, οπότε κάθε απάντηση μπορούμε να τη διαλέξουμε τυχαία με πιθανότητα 25%.

• Ας υποθέσουμε ότι η απάντηση Α είναι σωστή. Εδώ είναι σημαντικό ότι στην απάντηση Δ υπάρχει το ίδιο ποσοστό, άρα η πιθανότητα να διαλέξουμε την απάντηση 25% είναι 50%. Επομένως ούτε η απάντηση Α ούτε η Δ μπορεί να είναι σωστή.
• Η πιθανότητα να διαλέξουμε την απάντηση Β είναι 25%. Επομένως ούτε η απάντηση Β μπορεί να είναι σωστή, αφού λέει ότι έχουμε 50% πιθανότητα να διαλέξουμε τη σωστή απάντηση.
• Η πιθανότητα να διαλέξουμε την απάντηση Γ είναι 25%. Επομένως ούτε η απάντηση Γ μπορεί να είναι σωστή, αφού λέει ότι έχουμε 0% πιθανότητα να διαλέξουμε τη σωστή απάντηση.

Όπως βλέπεις, καμία από τις απαντήσεις δεν είναι σωστή. Ποια πιθανότητα έχουμε λοιπόν να διαλέξουμε τη σωστή απάντηση; Αν καμία από τις απαντήσεις δεν είναι σωστή, τότε έχουμε 0% πιθανότητα να διαλέξουμε τη σωστή απάντηση. Αυτό όμως είναι άτοπο, γιατί στην πραγματικότητα έχουμε 25% πιθανότητα να διαλέξουμε την απάντηση που λέει ότι έχουμε 0% πιθανότητα.

Η άσκηση λοιπόν δεν έχει λύση, είναι ένα ωραίο παράδοξο, όπως και το κλασικό παράδοξο του ψεύτη.