Triangolo rettangolo

Un triangolo rettangolo ha un angolo interno retto, cioè di ampiezza 90°. Questo triangolo ha diverse proprietà interessanti, di cui parleremo in questo articolo.

Descrizione di base

Il triangolo rettangolo è già stato descritto in parte nell’articolo principale sui triangoli. Il triangolo rettangolo ha un angolo interno di ampiezza 90°. Gli altri due angoli interni devono necessariamente essere minori di 90°, perché altrimenti la somma degli angoli interni non sarebbe uguale a 180°. Anzi, la somma dei due angoli restanti è esattamente 90°.

Il triangolo rettangolo ha naturalmente tre lati: due di essi si chiamano cateti (i lati rossi), e sono i lati più corti, mentre il terzo lato si chiama ipotenusa (il lato blu) – ed è il lato più lungo. L’ipotenusa è sempre opposta al vertice in cui si trova l’angolo retto.

Teorema di Pitagora

Il teorema matematico forse più famoso in assoluto, il teorema di Pitagora, vale proprio nel triangolo rettangolo. Il teorema di Pitagora riguarda la lunghezza dei lati del triangolo. Il teorema dice che «l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui suoi cateti». In forma matematica, per il nostro triangolo, in cui l’ipotenusa è il lato a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Il teorema di Pitagora in figura, questa volta con la notazione usuale, con l’ipotenusa c: Al teorema è dedicato un articolo a parte.

Area del triangolo rettangolo

Nel triangolo rettangolo l’area si calcola molto facilmente, perché le altezze coincidono con i cateti. Immagina il triangolo rettangolo della prima figura. Come calcoleremmo la sua area senza conoscere alcuna altezza? Possiamo completare il triangolo in modo da ottenere un rettangolo. I lati del rettangolo saranno formati dai cateti del triangolo, e gli altri due lati li aggiungiamo in modo che si formi davvero un rettangolo: L’area del rettangolo sappiamo già calcolarla: è il prodotto delle lunghezze di due lati adiacenti, nel nostro caso il prodotto dei lati rossi AC e AB. Così otteniamo l’area del rettangolo. Però l’ipotenusa BC è una diagonale del rettangolo, che lo divide a metà, quindi se dividiamo l’area del rettangolo per due, otteniamo l’area del triangolo rettangolo. La formula sarebbe dunque questa:

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

dove b e c sono le lunghezze dei cateti.

Le funzioni goniometriche seno e coseno

Nel triangolo rettangolo valgono le fondamentali funzioni goniometriche e le loro relazioni. Le funzioni goniometriche, come il seno, il coseno, la tangente e la cotangente (talvolta indicata anche con «cotg»), esprimono il rapporto tra le lunghezze dei lati del triangolo rettangolo. Prendiamo ancora una volta il primo triangolo, questa volta con gli angoli evidenziati.

Se vogliamo trovare il rapporto tra le lunghezze di due lati, prendiamo le due lunghezze e le dividiamo nell’ordine indicato. Per esempio il rapporto tra le lunghezze dei lati b:c (si legge «b sta a c») si ottiene dividendo 3/5 (il lato b ha lunghezza 3, il lato c lunghezza 5).

La funzione seno lavora poi con il rapporto tra due lati e con un angolo. Con riferimento alla nostra figura vale quanto segue: se prendiamo il rapporto tra i lati b:a, otteniamo il valore della funzione seno applicata all’angolo β. Il coseno funziona in modo simile, solo per il rapporto c:a e lo stesso angolo β. Vale quindi:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Le funzioni seno e coseno lavorano sempre solo con gli angoli del triangolo rettangolo che sono minori di 90°. In questo caso con gli angoli β e γ. Per questi angoli il seno e il coseno restituiscono sempre un numero nell’intervallo (0; 1), per cui puoi ricordare la regola che si divide sempre il lato più corto per quello più lungo, per ottenere proprio un numero dell’intervallo (0; 1).

Entrambe le funzioni lavorano inoltre con un cateto e l’ipotenusa, mai con due cateti insieme. Poiché si divide sempre il più corto per il più lungo, l’ipotenusa sarà sempre al denominatore della frazione. Se guardi le formule qui sopra, al denominatore c’è sempre a, cioè l’ipotenusa del triangolo.

L’ultima regola è che il seno lavora con il cateto opposto, mentre il coseno con il cateto adiacente. Che cosa significa? Se abbiamo l’angolo β, il cateto adiacente è quello che parte dal punto B, cioè il cateto c. Il cateto opposto è l’altro cateto, il cateto b. Per questo nella formula del seno c’è il lato b e in quella del coseno il lato c.

Riassumendo: il seno restituisce il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa, il coseno il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa. Come possiamo sfruttarlo? Se conosci gli angoli del triangolo e la lunghezza dell’ipotenusa o di un cateto, possiamo calcolare le lunghezze dei lati restanti. Un esempio:

Per il triangolo precedente vale:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Qual è la lunghezza del lato a? Sappiamo che vale:

$$\mathrm{sen}(\beta )=\frac{b}{a}$$

Il valore del seno lo conosciamo, la lunghezza del lato b pure, cerchiamo la lunghezza del lato a. Isoliamo a con i principi di equivalenza:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \mathrm{sen}(\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\mathrm{sen}(\beta )}\end{array}$$

(Prima abbiamo moltiplicato l’equazione per a e poi abbiamo diviso l’equazione per il seno.) A destra abbiamo ormai solo valori noti, quindi sostituiamo. Il valore del seno lo calcoliamo con la calcolatrice.

$$a=\frac{b}{\mathrm{sen}(\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Il lato a ha lunghezza 5,83. Se calcoli il seno con la calcolatrice, fai attenzione a tenere attiva la modalità in gradi. Spesso infatti il problema è che si calcola in radianti, che sono un’altra misura degli angoli. Vale comunque la formula di conversione:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

dove deg è il tuo valore in gradi.

Le funzioni goniometriche tangente e cotangente

Nel triangolo rettangolo si possono usare facilmente anche queste due funzioni. Anche qui lavoriamo sempre con angoli minori di 90°. A differenza del seno e del coseno, però, queste funzioni non lavorano con l’ipotenusa del triangolo, ma solo con i cateti. Quindi la tangente di un angolo è uguale al rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente, e la cotangente al rapporto tra il cateto adiacente e il cateto opposto.

Con riferimento al triangolo precedente vale quindi:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Proviamo a calcolare nel triangolo precedente la lunghezza del lato AC (lato b) con l’angolo β. La sua ampiezza la conosciamo dall’esempio precedente. Sappiamo che vale:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Isoliamo il lato b:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Abbiamo solo moltiplicato l’equazione per c e scambiato i due membri.) Ora conosciamo tutto ciò che serve per calcolare la lunghezza del lato b. Sostituiamo:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Già dalla figura vediamo che abbiamo ottenuto la soluzione giusta. Ancora una volta attenzione: nella formula l’argomento della tangente è in gradi, mentre la calcolatrice potrebbe richiedere l’angolo in radianti.

A titolo di esempio, possiamo calcolare lo stesso lato anche con la cotangente:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

Sostituiamo i valori:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Anche questa volta abbiamo ottenuto il risultato corretto.