Funzioni goniometriche

In questo articolo ci occupiamo delle funzioni goniometriche, dette talvolta anche funzioni trigonometriche. La parola goniometria deriva dal greco e significa misura degli angoli, mentre «trigono» si traduce con triangolo. Le funzioni goniometriche fondamentali sono quattro: seno, coseno, tangente e cotangente.

Concetti di base sul triangolo

Le funzioni goniometriche lavorano con gli angoli di un triangolo, perciò in questa parte ripassiamo i termini legati al triangolo.

Nella figura vedi un triangolo formato dai vertici A, B e C: è quindi il triangolo ABC. Ha tre lati: AB, BC, AC. Osserva inoltre che i lati sono indicati anche con lettere minuscole. Questa denominazione segue una regola: di fronte al vertice A c’è il lato a, di fronte al vertice B il lato b e di fronte al vertice C il lato c. Ogni lato prende quindi il nome dal vertice opposto, cioè da quello che non è un suo estremo.

Ogni triangolo ha tre angoli interni, che di solito indichiamo con le lettere greche alfa α, beta β e gamma γ. La somma dei tre angoli interni è sempre 180 gradi. Di solito l’angolo in A è alfa, quello in B è beta e quello in C è gamma.

Anche se in qualche modo possiamo usare le funzioni goniometriche con un triangolo qualsiasi, spesso lavoriamo soltanto con il triangolo rettangolo. Il triangolo rettangolo è un triangolo che ha un angolo retto, cioè di ampiezza 90 gradi. Ad esempio ha questo aspetto:

I lati del triangolo rettangolo hanno nomi particolari. Il lato più lungo si trova di fronte all’angolo retto e si chiama ipotenusa (il lato blu nella figura). I due lati più corti si chiamano cateti (i lati rossi). In questo articolo ci interesserà soprattutto questo triangolo.

Come distinguere i cateti

Passiamo alla prima funzione goniometrica, il seno. Tutte le funzioni goniometriche esprimono un legame tra un angolo del triangolo e il rapporto tra le lunghezze di due lati. Di solito non si tratta dell’angolo retto, ma degli altri due. L’ingresso di una funzione goniometrica è quindi l’ampiezza di un angolo, l’uscita è il rapporto tra due lati. Le funzioni si distinguono per i lati con cui lavorano.

La funzione seno lavora con il cateto opposto e con l’ipotenusa. Quale sia il cateto adiacente e quale l’opposto rispetto a un dato angolo lo mostra la figura seguente.

Nella figura lavoriamo con l’angolo beta, cioè con l’angolo nel vertice B. Il lato nero è l’ipotenusa e per questo lato non cambia nulla. Il lato c evidenziato in rosso è il cateto adiacente, perché è adiacente all’angolo beta. Il lato b evidenziato in blu è il cateto opposto, perché sta di fronte all’angolo beta. È importante ricordare che questi termini si riferiscono sempre a un angolo. Se guardiamo la figura dal punto di vista dell’angolo gamma, otteniamo questo risultato:

La funzione seno

Il seno dell’angolo alfa è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza dell’ipotenusa. Che cosa significa? Se calcoliamo (ad esempio con la calcolatrice) il seno dell’angolo alfa, otteniamo il valore del quoziente

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{\text{Lunghezza del cateto opposto}}{\text{Lunghezza dell’ipotenusa}}$$

Proviamo con questo triangolo e con l’angolo beta: È un bel triangolo: le lunghezze dei lati sono |a| = 5, |b| = 3 e |c| = 4. Il cateto opposto all’angolo beta è il lato b, l’ipotenusa è il lato a. Calcoliamo il rapporto b/a, cioè 3/5, che è 0,6. Il seno dell’angolo beta è quindi uguale a 0,6. L’angolo beta misura 36° 52′: se inserisci questo angolo nella calcolatrice e calcoli il seno, ottieni proprio 0,6 (dopo una piccola arrotondamento).

A che cosa serve

Serve quando conosci un angolo e la lunghezza di un lato e devi calcolare i lati rimanenti.

Per prima cosa scriviamo che cosa sappiamo. Conosciamo l’angolo alfa. Sappiamo che il seno di questo angolo è uguale al rapporto tra il cateto opposto (cioè il lato a) e l’ipotenusa (il lato b). In formula:

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Il seno dell’angolo lo conosciamo, o meglio possiamo calcolarlo, e conosciamo la lunghezza del lato a. L’unica cosa che non conosciamo è la lunghezza del lato b. Cercheremo quindi di isolare questa incognita. Per prima cosa moltiplichiamo l’equazione per la lunghezza del lato b. Otteniamo

$$|b|\cdot \mathrm{sen}(\alpha )=|a|$$

e ora basta dividere l’equazione per sen(α) e otteniamo la forma desiderata, con la lunghezza del lato b al primo membro:

$$|b|=\frac{|a|}{\mathrm{sen}(\alpha )}.$$

La lunghezza del lato a la conosciamo: è uguale a tre. Il seno di trenta gradi è uguale a un mezzo. Sostituiamo:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Il lato b è lungo sei.

La funzione coseno

Il coseno è molto simile alla funzione seno. La terminologia relativa al coseno è la stessa della parte precedente, quindi passiamo alla definizione:

Il coseno dell’angolo alfa è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente e la lunghezza dell’ipotenusa. Quindi, se con la calcolatrice calcoliamo il coseno dell’angolo alfa, otteniamo il valore del quoziente

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{lunghezza del cateto adiacente}}{\text{lunghezza dell’ipotenusa}}.$$

La differenza tra seno e coseno è mostrata con chiarezza nella figura seguente:

Entrambe le funzioni lavorano con l’ipotenusa del triangolo, che resta nera. Il seno lavora con il cateto opposto, che – rispetto all’angolo alfa – è il lato rosso BC. Il coseno lavora con il cateto adiacente, cioè il lato blu AB.

Torniamo all’esempio descritto nel capitolo precedente. Dovevamo calcolare la lunghezza dell’ipotenusa, conoscendo la lunghezza del lato a. Proviamo ora a calcolare la lunghezza del lato c, conoscendo l’angolo alfa e la lunghezza dell’ipotenusa che abbiamo appena calcolato nell’esempio precedente: b = 6.

Che cosa sappiamo? L’angolo alfa misura 30 gradi, la lunghezza del lato b è uguale a sei e il coseno ci dà il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa. Il cateto adiacente è il lato c, cioè il lato di cui vogliamo trovare la lunghezza. Scriviamo:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Dobbiamo isolare |c| nell’equazione. Lo facciamo moltiplicando l’equazione per la lunghezza del lato b, così al secondo membro resta soltanto la lunghezza del lato c:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Basta scambiare i membri:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

Al secondo membro abbiamo espressioni che conosciamo o che sappiamo calcolare. Il coseno di trenta gradi è circa 0,866. Sostituiamo nell’equazione:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Questa è la lunghezza del lato c. Come vedremo più avanti, il coseno di trenta gradi è un valore notevole, uguale a

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

quindi la lunghezza precedente possiamo darla in forma esatta:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangente e cotangente

Esistono ancora due funzioni goniometriche, la tangente e la cotangente. La differenza principale rispetto alle funzioni precedenti è che tangente e cotangente lavorano soltanto con i cateti, non con l’ipotenusa.

La tangente dell’angolo alfa è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza del cateto adiacente. La tangente di solito si indica con tan oppure con tg.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Lunghezza del cateto opposto}}{\text{Lunghezza del cateto adiacente}}$$

La cotangente dell’angolo alfa è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente e la lunghezza del cateto opposto. La cotangente di solito si indica con cot oppure con cotg.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Lunghezza del cateto adiacente}}{\text{Lunghezza del cateto opposto}}$$

La terminologia è di nuovo la stessa delle parti precedenti, e anche il lavoro con le funzioni è lo stesso. Torniamo all’esempio precedente e proviamo a calcolare la lunghezza del lato c conoscendo soltanto l’ampiezza dell’angolo alfa e la lunghezza del lato a, che è a = 3.

La tangente è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente, quindi in formula si scrive così:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Dobbiamo calcolare la lunghezza del lato c, quindi da questa equazione dobbiamo isolare l’espressione |c|. Moltiplichiamo per |c| e dividiamo per tan(α), come negli esempi precedenti.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Sostituiamo nel secondo membro, dove la tangente di trenta gradi è circa 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

Per la tangente di trenta gradi esiste un valore notevole: vale

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

quindi il calcolo precedente possiamo eseguirlo in modo esatto:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Valori notevoli

Seno, coseno, tangente e cotangente hanno per alcuni angoli «belli» valori altrettanto belli. Ecco il loro quadro riassuntivo:

$$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{sen}& \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

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Concetti collegati in questo sito:

• Angolo orientato
• Radiante