Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è forse il teorema più famoso di tutta la matematica. Su Pitagora di Samo in persona puoi leggere altrove. Ora ci tuffiamo nei triangoli.

Area del quadrato costruito sul lato di un triangolo

Il teorema di Pitagora ci fornisce una relazione utile tra le aree dei quadrati che costruiamo sui lati di un triangolo rettangolo. Immaginiamo di avere questo triangolo rettangolo:

La griglia quadrettata sullo sfondo ci dà le dimensioni del triangolo. Il cateto AC è lungo 4 e il cateto BC è lungo 3. Ma quanto è lungo il lato AB, cioè l’ipotenusa del triangolo? A prima vista non possiamo saperlo. Possiamo però provare a calcolarlo.

Per prima cosa costruiamo il quadrato sul cateto BC. Questo significa che costruiamo un quadrato i cui lati sono tutti lunghi quanto il lato BC, cioè tre. Nella figura lo disegneremmo così:

Abbiamo ottenuto il quadrato BCDE, i cui lati sono tutti lunghi 3. Qual è l’area di un tale quadrato? L’area del quadrato si calcola moltiplicando le lunghezze di due suoi lati, quindi l’area del quadrato BCDE è 3 · 3 = 9. Disegniamo nella figura il quadrato sull’altro cateto, sul cateto AC. Questo quadrato avrà i lati lunghi 4.

Questo quadrato avrà area 4 · 4 = 16. Ora disegniamo l’ultimo quadrato, sull’ipotenusa AB:

Quale sia l’area di questo nuovo quadrato non lo sappiamo ancora, perché non conosciamo la lunghezza del lato AB. Ora però possiamo sfruttare bene il teorema di Pitagora. Esso dice infatti che l’area di quest’ultimo quadrato ABHI è uguale alla somma delle aree dei due quadrati precedenti. I primi due quadrati avevano aree 9 e 16, quindi l’ultimo quadrato – secondo il teorema di Pitagora – ha area 9 + 16 = 25. Lo disegniamo nella figura:

E ora resta da rispondere all’ultima domanda: se il quadrato ABHI ha area 25, quanto è lungo il suo lato? Deve essere la radice quadrata di 25, quindi la lunghezza del lato AB è $\sqrt{25}=5$. Se per verifica calcoliamo l’area di un quadrato con il lato lungo 5, otteniamo l’area 5 · 5 = 25. E ora possiamo passare ai numeri e alle definizioni.

Enunciato

Il teorema di Pitagora si enuncia più o meno così: «L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui suoi cateti». Matematicamente questo teorema si scrive di solito così

$$c^2=a^2+b^2,$$

dove a e b sono le lunghezze dei cateti nel triangolo e c è la lunghezza dell’ipotenusa.

Che cosa dice dunque il teorema di Pitagora e come si collega questa scrittura alla figura precedente? Area del quadrato costruito sul lato di un triangolo significa che prendiamo il quadrato il cui lato è lungo quanto quel lato e ne calcoliamo l’area. L’area del quadrato si calcola moltiplicando la lunghezza di un lato per la lunghezza di un altro lato, quindi se il lato è lungo c, l’area A è uguale a A = c · c, che con le potenze possiamo scrivere come A = c².

La scrittura c² = a² + b² possiamo quindi leggerla proprio così: «l’area del quadrato di lato c è uguale alla somma delle aree dei quadrati di lato a e b».

Sottolineo ancora una volta che il teorema vale soltanto nel triangolo rettangolo, non in un triangolo qualsiasi. Il teorema di Pitagora si usa classicamente quando conosci le lunghezze di due lati e devi calcolare la lunghezza del lato rimanente. Se quindi conosciamo le lunghezze di entrambi i cateti a e b e vogliamo ottenere la lunghezza dell’ipotenusa c, calcoliamo le aree dei quadrati sui cateti, cioè calcoliamo a² + b². In questo modo otteniamo l’area del quadrato sull’ipotenusa c, cioè otteniamo c². Per ottenere la lunghezza del lato c basta estrarre la radice quadrata dell’area calcolata. Otteniamo così la formula:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

dove c è la lunghezza dell’ipotenusa e a, b sono le lunghezze dei cateti. Se invece conoscessimo la lunghezza dell’ipotenusa e di un cateto e volessimo calcolare la lunghezza dell’altro cateto, faremmo lo stesso, solo che prima isoleremmo uno dei cateti nell’equazione data. Quindi se conosciamo c e b e vogliamo calcolare a, nell’equazione

$$c^2=a^2+b^2,$$

isoliamo a² sottraendo b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

scambiamo il primo e il secondo membro:

$$a^2=c^2-b^2$$

e infine estraiamo la radice quadrata:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Primo esempio

Consideriamo un triangolo ABC di cui conosciamo le lunghezze di due lati: a = 3 e b = 4. È lo stesso triangolo che avevamo all’inizio. La domanda è: quanto è lungo il lato rimanente, il lato c? Proviamo a calcolarlo con la formula appena vista. Il triangolo è rappresentato nella figura seguente:

Vediamo che conosciamo le lunghezze dei due cateti e ci manca la lunghezza dell’ipotenusa. Perciò usiamo la prima formula, quella non modificata:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Sostituiamo alle variabili a e b le lunghezze dei lati:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

Nella formula abbiamo il quadrato di un numero; ricordiamo che vale questa relazione:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Quindi, dopo aver calcolato i quadrati, otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Il risultato è che la lunghezza del lato c è uguale a cinque.

Secondo esempio

In questo esempio proviamo a calcolare la lunghezza di uno dei cateti, quando conosciamo l’altro cateto e la lunghezza dell’ipotenusa. Abbiamo quindi un triangolo ABC con i lati di lunghezze |AC| = 10 e |BC| = 6. Il triangolo è mostrato nella figura seguente:

Dalla figura vediamo che l’ipotenusa, cioè il lato più lungo, è il lato |AC|. Dobbiamo calcolare la lunghezza del lato |AB|. Sostituiamo nella seconda formula, quella per calcolare la lunghezza di un cateto:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Per usare correttamente il teorema di Pitagora dobbiamo ora ricordarci che cosa indica ogni variabile. In questa formula la variabile a è la lunghezza del lato che vogliamo calcolare, nel nostro caso il lato |AB|. La variabile c è la lunghezza dell’ipotenusa, il lato più lungo, nel nostro caso il lato |AC|. E la variabile b è la lunghezza del cateto di cui conosciamo la lunghezza, nel nostro caso |BC|. Perciò sostituiamo nella formula così:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Sostituiamo le lunghezze concrete dei lati che conosciamo:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Calcoliamo le potenze e sottraiamo:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

E infine estraiamo la radice quadrata:

$$|AB|=8$$

La lunghezza del lato |AB| è uguale a otto.

Problema

Immagina di andare a casa di un’amica lungo una strada dritta. La strada è lunga 250 metri. Dopo questo quarto di chilometro giri a sinistra e percorri altri 100 metri, ed eccoti dalla tua buona amica. La domanda è: di quanto sarà più corto il percorso se tagli diritto attraverso il campo?

Come primo passo calcoliamo la lunghezza del percorso se segui la strada. Prima cammini 250 metri dritto e poi 100 metri a sinistra. In totale sono 250 + 100 = 350 metri. Ora tocca al calcolo della lunghezza del percorso attraverso il campo. Per questo servirà una figura.

Un quadretto della figura rappresenta 50 metri. Come sarebbe il percorso diretto attraverso il campo? Sarebbe il segmento dal punto A al punto C. Lo disegniamo nella figura in rosso.

Ora vediamo che per calcolare la lunghezza del percorso attraverso il campo ci basta applicare opportunamente il teorema di Pitagora. Cerchiamo la lunghezza dell’ipotenusa e conosciamo le lunghezze di entrambi i cateti, quindi usiamo la prima formula e la completiamo così:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Sostituiamo le lunghezze:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Eleviamo al quadrato:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Estraiamo la radice e arrotondiamo:

$$|AC|=269$$

La lunghezza del percorso attraverso il campo è 269 metri. L’esercizio non è ancora finito: la domanda era di quanto è più corto il percorso attraverso il campo. Sottraiamo quindi le lunghezze una dall’altra, indicando la differenza con r:

$$r=350-269=81$$

La risposta è che il percorso è più corto di circa 81 metri.

Lunghezza del lato del quadrato

Quanto è lungo il lato di un quadrato la cui diagonale è lunga dieci? Come ci aiuta il teorema di Pitagora? Dobbiamo trovare nel quadrato un triangolo rettangolo da usare per calcolare la lunghezza del lato del quadrato. Giusto per ricordare: il quadrato ha quattro lati di uguale lunghezza. Disegniamo la situazione attuale:

Vediamo che nel quadrato sono comparsi all’improvviso due triangoli che hanno un angolo retto e che potremmo usare per calcolare la lunghezza del lato. Prendiamo per esempio il triangolo BCD. Il lato DB è l’ipotenusa, gli altri due sono cateti. Le lunghezze dei cateti non le conosciamo, ma conosciamo la lunghezza dell’ipotenusa. Questi cateti hanno la stessa lunghezza, cioè |BC| = |CD|. Usiamo il teorema di Pitagora nella forma base:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Poiché però i cateti sono uguali, ci basta calcolare il quadrato di un cateto e moltiplicarlo per due: non dobbiamo calcolare il quadrato di entrambi i cateti, perché sono uguali e verrebbe lo stesso risultato. Possiamo quindi scrivere:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Conosciamo la lunghezza del lato BD, che è l’ipotenusa. La lunghezza è uguale a dieci. Sostituiamo nell’equazione:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Eleviamo al quadrato il dieci:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Dividiamo per due:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Semplifichiamo la frazione:

$$50=|BC{|}^2$$

Ora siamo quasi al traguardo. Sappiamo che il quadrato della lunghezza del lato del quadrato è uguale a 50. Per trovare la lunghezza del lato dobbiamo quindi ancora estrarre la radice di entrambi i membri dell’equazione, cosa che possiamo permetterci perché ci muoviamo tra i numeri positivi:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

La radice di cinquanta la lasciamo in questa forma, ma nel secondo membro dell’equazione possiamo eliminare la radice e il quadrato, perché si annullano a vicenda.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Se vuoi, puoi estrarre anche la radice di cinquanta. Arrotondando verrebbe sette:

$$7=|BC|$$

Quindi la lunghezza del lato del quadrato è circa sette, esattamente la radice quadrata di cinquanta.

Calcolatrice

Puoi calcolare l’ipotenusa dai due cateti oppure un cateto dall’ipotenusa e dall’altro cateto. Puoi cambiare l’unità di misura di ciascun campo.