Accelerazione centripeta

Un’auto percorre una rotonda e la lancetta del tachimetro non si muove di un millimetro. Il conducente non accelera e non frena, eppure l’auto ha un’accelerazione. L’accelerazione infatti non misura come cambia il numero sul tachimetro, ma come cambia l’intera freccia della velocità. E in curva la freccia ruota. Nel moto circolare uniforme l’accelerazione punta sempre verso il centro della circonferenza, e da qui il nome di accelerazione centripeta.

Se cerchi solo la formula: un corpo che gira con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione centripeta

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

dove ω è la velocità angolare. Dove punta quell’accelerazione e da dove viene la formula lo vedremo con l’aiuto delle figure.

La freccia della velocità ruota di continuo

L’accelerazione dice come cambia la velocità nell’unità di tempo. Ma la velocità è un vettore, una freccia, e può cambiare in due modi: si allunga o si accorcia, oppure ruota. Quando si va lungo una retta la freccia si limita ad allungarsi e ad accorciarsi, il che corrisponde ad accelerare e a frenare. Su una circonferenza vale l’opposto. La lunghezza della freccia non cambia, perché il corpo va sempre alla stessa velocità, ma la freccia punta lungo la tangente alla circonferenza, e così a ogni tratto di arco ruota un po’. Anche la sola rotazione della freccia è una variazione di velocità, e quindi un’accelerazione.

Un errore frequente è sostenere che il moto circolare uniforme non abbia accelerazione, perché la velocità resta la stessa. Resta uguale solo il suo modulo. Se l’accelerazione fosse nulla, la freccia della velocità non dovrebbe cambiare affatto, né in lunghezza né in direzione, e il corpo andrebbe in linea retta. Curvare senza accelerazione non si può.

L’animazione mostra un punto che gira su una circonferenza a velocità costante. La freccia rossa della velocità ruota con esso, la freccia verde dell’accelerazione a ogni istante indica il centro.

La freccia verde è sempre perpendicolare a quella rossa. L’accelerazione non ha quindi alcuna componente nel verso di marcia né contro di esso, e il modulo della velocità non cambia. Tutta l’accelerazione serve solo a far ruotare la freccia. Perché punti proprio verso il centro e quanto valga lo svela la figura.

Quanto vale l’accelerazione centripeta

Osserviamo il punto solo per un breve istante Δt. In questo tempo si sposta dal punto A al punto B e percorre lo spazio

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Nella figura questo pezzetto di moto compare due volte. A sinistra vedi il triangolo blu delle posizioni: il centro della circonferenza e i punti A e B. Due dei suoi lati sono raggi r, il terzo è il segmento AB. In un breve istante l’arco è quasi rettilineo, quindi il segmento AB è lungo praticamente Δs. A destra trovi il triangolo verde delle velocità: le due frecce della velocità portate da uno stesso punto e la loro differenza $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, che va dalla punta di ${\overrightarrow{v}}_1$ alla punta di ${\overrightarrow{v}}_2$. Entrambe le frecce della velocità sono lunghe v.

Per chiarezza l’angolo è disegnato grande, ma tu immaginalo molto piccolo. L’essenziale è che entrambi i triangoli abbiano al vertice lo stesso angolo φ. La freccia della velocità infatti è sempre perpendicolare al raggio, quindi quando il raggio ruota di un angolo φ, ruota dello stesso angolo anche la freccia della velocità. Raggio e freccia sono legati come le due aste della lettera L: se giri un’asta, gira tutta la lettera. Entrambi i triangoli sono isosceli con lo stesso angolo tra i lati uguali. Hanno perciò la stessa forma e differiscono solo per le dimensioni: sono simili. Nei triangoli simili il rapporto tra la base e il lato è lo stesso:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

A parole: la freccia verde è più corta della freccia della velocità tante volte quante volte il segmento AB è più corto del raggio. Al posto di Δs mettiamo v · Δt e trasformiamo l’equazione:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

A sinistra c’è la variazione di velocità nell’unità di tempo, cioè l’accelerazione:

$$a_c=\frac{v^2}{r}$$

Abbiamo barato un poco, perché il segmento AB è un pelo più corto dell’arco. Ma più breve è l’istante che osserviamo, più il segmento e l’arco coincidono, e per l’accelerazione istantanea prendiamo un istante così breve che la differenza non si nota. La formula vale quindi esattamente.

La figura rivela anche la direzione. La freccia verde $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ punta verso il basso, come il segmento che congiunge il punto medio di AB con il centro della circonferenza. Per un angolo piccolo è quasi perpendicolare a entrambe le frecce della velocità, e perpendicolare alla tangente va il raggio. La variazione di velocità, e con essa l’accelerazione, punta quindi verso il centro.

Tornano anche le unità:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

La formula inoltre si comporta in modo ragionevole. Più veloce va il corpo, più lunga è la freccia della velocità e più in fretta ruota. Entrambe le cose aumentano l’accelerazione, per questo nella formula la velocità è al quadrato. Al crescere del raggio la circonferenza si raddrizza e l’accelerazione diminuisce. Con un raggio enorme un tratto di circonferenza è quasi una retta e l’accelerazione è quasi nulla, esattamente come deve essere per un moto rettilineo a velocità costante.

La seconda forma della formula si ottiene sostituendo la velocità con l’espressione v = ω · r:

$$a_c=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Qui è facile inciampare. Nella prima forma il raggio sta al denominatore, nella seconda al numeratore. L’accelerazione cresce con il raggio o diminuisce? Sono vere entrambe le cose, solo che ogni volta resta costante una cosa diversa. A parità di velocità una curva più larga è più dolce, l’accelerazione è minore. A parità di velocità angolare, per esempio su una giostra, il cavallino al bordo ha una velocità maggiore, e quindi anche un’accelerazione maggiore di quello vicino al centro.

Un quarto di rotonda

Torniamo alla rotonda. L’auto la percorre a 54 km/h, cioè 15 m/s, e un quarto di rotonda lo fa in 3 s. Dalla freccia della velocità all’inizio e alla fine del quarto risulta un’accelerazione media di circa 7,1 m/s² verso il centro. Ma quanto vale l’accelerazione in ogni istante?

Ci serve il raggio. In 3 s l’auto percorre 15 m/s · 3 s = 45 m e questo è un quarto della circonferenza:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Ora tocca alla formula. Lasciamo il raggio come frazione, per non arrotondare nel risultato intermedio, e dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo reciproco:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

L’accelerazione istantanea è 7,85 m/s², più dei 7,1 m/s² della media. È più o meno quanto un’auto riesce a fare con una frenata a fondo su asfalto asciutto, quindi una rotonda così piccola, a 54 km/h, è davvero stretta. Come mai i numeri sono diversi, se l’accelerazione è sempre della stessa intensità? L’accelerazione media si ricava solo dalla prima e dall’ultima freccia della velocità e dalla loro differenza. Immagina tutte le frecce della velocità di quel quarto di rotonda, portate da un unico punto. Le loro punte descrivono un quarto di circonferenza di raggio 15 m/s. L’accelerazione istantanea dice quanto in fretta la punta avanza lungo quest’arco. Quella media lavora solo con il segmento che congiunge la prima e l’ultima punta, ed esso è più corto dell’arco. Allo stesso modo differiscono lo spostamento e lo spazio percorso: in linea retta la distanza è sempre più breve.

I numeri possiamo verificarli. L’arco è un quarto della circonferenza di raggio 15 m/s, cioè $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Il segmento tra le punte è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti di 15 m/s, cioè 21,2 m/s. Dividiamo entrambi per tre secondi:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Il primo numero è l’accelerazione istantanea dalla formula, il secondo quella media. Più breve è il tratto di rotonda, più l’arco coincide con il segmento e più l’accelerazione media si avvicina a quella istantanea.

Un’auto in curva

Ora l’auto va, sempre a 54 km/h, in una curva più larga, con raggio 50 m. Che accelerazione ha? Scriviamo ciò che sappiamo e convertiamo subito la velocità in metri al secondo:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_c& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Sostituiamo nella formula:

$$a_c=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Rispetto alla rotonda l’accelerazione è quasi la metà, una curva più larga è più dolce. Ma attenzione alla velocità, che nella formula è al quadrato. Se l’auto entrasse nella stessa curva al doppio della velocità, avrebbe un’accelerazione quattro volte maggiore, 18 m/s², e nessuna auto su strada ce la fa. Per questo si frena prima della curva e non dentro. Un’accelerazione di 4,5 m/s² non è affatto trascurabile, è più o meno come una frenata decisa. Solo che punta di lato.

La Terra attorno al Sole

La Terra gira attorno al Sole a circa 30 km/s, cioè 3 · 10⁴ m/s, a una distanza di circa 1,5 · 10¹¹ m. La velocità possiamo verificarla: un giro dura un anno, circa 3,16 · 10⁷ s, quindi

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

L’orbita della Terra non è esattamente una circonferenza, ma le è molto vicina, quindi possiamo usare la formula:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Sono appena 0,006 m/s². La freccia della velocità cambia ogni secondo di soli sei millimetri al secondo, su una velocità di trenta chilometri al secondo, quasi nulla. In un secondo la Terra percorre 30 km e si discosta dalla retta di appena $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Ma l’anno ha più di trenta milioni di secondi, e così la freccia della velocità in un anno compie un giro completo e l’orbita della Terra si chiude.

Perché la lavatrice strizza i panni

Il cesto della lavatrice, con raggio 0,25 m, nella centrifuga a 1200 giri/min gira con velocità angolare 40π rad/s. Ora ci serve la seconda forma della formula:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Il radiante è un numero puro, quindi dalle unità restano i metri al secondo quadrato. L’accelerazione è più di quattrocento volte l’accelerazione di gravità g, cioè oltre 400g. Chi volesse verificarlo dalla velocità della parete del cesto, 31,4 m/s, e dalla formula $\frac{v^2}{r}$, otterrebbe lo stesso risultato.

La velocità angolare nella formula è al quadrato. Una lavatrice che centrifuga solo a 800 giri/min gira un terzo più lentamente, ma la sua accelerazione è meno della metà: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, cioè circa 1750 m/s². Per questo dalla centrifuga lenta tiri fuori panni sensibilmente più bagnati.

Che cosa ne segue per i panni? Per girare insieme al cesto, una goccia d’acqua deve curvare di continuo, e con un’accelerazione enorme. Il calzino sulla circonferenza lo trattiene la parete del cesto, ma nella parete ci sono dei forellini. La goccia che arriva sopra un forellino non ha più nulla che la faccia curvare. Smette di curvare e prosegue in linea retta lungo la tangente, fuori dal cesto. Il calzino resta dentro e l’acqua è fuori. Che cosa costringa esattamente i corpi a curvare è una questione di forze. La cinematica ci ha detto quanta accelerazione serve per curvare così, e per la lavatrice è davvero tanta.

Così abbiamo descritto il moto, ma non la sua causa. Perché i corpi partono, frenano e curvano lo spiegano le forze, e con loro comincia la seconda parte della categoria, l’articolo Forza.