Центростремително ускорение

Колата минава през кръгово кръстовище и стрелката на скоростомера дори не трепва. Шофьорът нито дава газ, нито спира и въпреки това колата има ускорение. Ускорението не измерва как се променя числото на скоростомера, а как се променя цялата стрелка на скоростта. А тя в завой се завърта. При равномерно движение по окръжност ускорението сочи винаги към центъра на окръжността и оттам идва името центростремително ускорение.

Ако търсиш само формулата: тяло, което обикаля със скорост v по окръжност с радиус r, има центростремително ускорение

$$a_{\mathrm{ц}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

където ω е ъгловата скорост. Накъде сочи това ускорение и откъде идва формулата, ще покажем на фигури.

Стрелката на скоростта непрекъснато се завърта

Ускорението казва как се променя скоростта за единица време. Скоростта обаче е вектор, стрелка, и тя може да се промени по два начина: да се удължи или скъси, или да се завърти. При движение по права стрелката само се разтяга и скъсява, а това отговаря на потегляне и спиране. По окръжност е точно обратното. Дължината на стрелката не се променя, защото тялото се движи все със същата скорост, но затова пък стрелката сочи по допирателната към окръжността и така с всяка частица от дъгата се завърта малко. И самото завъртане на стрелката е промяна на скоростта и следователно ускорение.

Често срещана грешка е да се твърди, че равномерното движение по окръжност няма ускорение, защото скоростта остава същата. Същата е само нейната големина. Ако ускорението беше нула, стрелката на скоростта изобщо не би могла да се променя, нито по дължина, нито по посока, и тялото би се движило по права. Без ускорение не може да се завие.

Анимацията показва точка, която обикаля по окръжност с постоянна скорост. Червената стрелка на скоростта се върти с нея, зелената стрелка на ускорението във всеки момент сочи към центъра.

Зелената стрелка стои винаги перпендикулярно на червената. Ускорението затова няма никаква съставяща по посока на движението, нито срещу него, и големината на скоростта така не се променя. Цялото ускорение се изразходва за завъртане на стрелката. Защо сочи точно към центъра и колко е голямо, ще разкрие фигурата.

Колко голямо е центростремителното ускорение

Наблюдаваме точката само за кратко време Δt. За това време тя се премества от място A на място B и изминава път

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

На фигурата тази част от движението е два пъти. Вляво виждаш синия триъгълник на положенията: центърът на окръжността и точките A и B. Две от страните му са радиуси r, третата е отсечката AB. За кратко време дъгата е почти права, така че отсечката AB е дълга практически Δs. Вдясно ще намериш зеления триъгълник на скоростите: двете стрелки на скоростта, изнесени от една точка, и тяхната разлика $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, която води от върха на ${\overrightarrow{v}}_1$ до върха на ${\overrightarrow{v}}_2$. И двете стрелки на скоростта са дълги v.

За по-добра четливост ъгълът е нарисуван голям, ти обаче си го представи съвсем малък. Същественото е, че двата триъгълника имат при върха един и същ ъгъл φ. Стрелката на скоростта е винаги перпендикулярна на радиуса, така че когато радиусът се завърти на ъгъл φ, на същия ъгъл се завърта и стрелката на скоростта. Радиусът и стрелката са свързани като рамената на буквата Г: ако завъртиш едното рамо, завърта се цялата буква. И двата триъгълника са равнобедрени със същия ъгъл между бедрата. Те имат затова една и съща форма и се различават само по големина: те са подобни. При подобни триъгълници отношението на основата към бедрото е едно и също:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

С думи: зелената стрелка е толкова пъти по-къса от стрелката на скоростта, колкото пъти отсечката AB е по-къса от радиуса. Вместо Δs заместваме v · Δt и преобразуваме равенството:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

От лявата страна стои промяната на скоростта за единица време, а това е ускорението:

$$a_{\mathrm{ц}}=\frac{v^2}{r}$$

Малко мамихме, защото отсечката AB е съвсем малко по-къса от дъгата. Колкото по-кратко време обаче наблюдаваме, толкова повече отсечката се слива с дъгата, а за моментното ускорение вземаме време толкова кратко, че разликата не се забелязва. Формулата затова важи точно.

Фигурата издава и посоката. Зелената стрелка $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ сочи надолу, както съединителната линия на средата на отсечката AB с центъра на окръжността. За малък ъгъл тя е почти перпендикулярна на двете стрелки на скоростта, а перпендикулярно на допирателната върви радиусът. Промяната на скоростта, а с нея и ускорението, така сочи към центъра.

Верни са и мерните единици:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Освен това формулата се държи разумно. Колкото по-бързо се движи тялото, толкова по-дълга е стрелката на скоростта и толкова по-бързо се завърта. И двете увеличават ускорението, затова във формулата скоростта е на квадрат. С растящия радиус окръжността се изправя и ускорението намалява. При огромен радиус част от окръжността е почти права и ускорението е почти нула, точно както трябва да е при движение по права с постоянна скорост.

Втората форма на формулата получаваме, когато скоростта заместим с израза v = ω · r:

$$a_{\mathrm{ц}}=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Тук лесно се подхлъзва човек. В първата форма радиусът стои в знаменателя, във втората в числителя. Расте ли ускорението с радиуса, или намалява? И двете са верни, само че всеки път нещо друго остава непроменено. При една и съща скорост по-широкият завой е по-мек, ускорението е по-малко. При една и съща ъглова скорост, например на въртележка, кончето в края има по-голяма скорост и следователно по-голямо ускорение от кончето до центъра.

Четвърт от кръговото кръстовище

Да се върнем на кръговото кръстовище. Колата се движи по него със скорост 54 km/h, тоест 15 m/s, и четвърт от кръстовището минава за 3 s. От стрелките на скоростта в началото и в края на четвъртината се получава средно ускорение около 7,1 m/s² към центъра. Какво е обаче ускорението във всеки момент?

Трябва ни радиусът. За 3 s колата изминава 15 m/s · 3 s = 45 m и това е четвърт от обиколката на окръжността:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Сега това влиза във формулата. Радиуса оставяме като дроб, за да не закръгляваме в междинния резултат, а делението на дроб е умножение по реципрочната ѝ стойност:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{ц}}& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Моментното ускорение е 7,85 m/s², повече от средните 7,1 m/s². Това е приблизително толкова, колкото колата може да постигне при пълно спиране на сух асфалт, така че такова малко кръстовище при 54 km/h е наистина рязък завой. Как така числата се различават, като ускорението е през цялото време еднакво голямо? Средното ускорение се получава само от първата и последната стрелка на скоростта и от тяхната разлика. Представи си всички стрелки на скоростта от тази четвъртина от кръстовището, прекарани от една точка. Върховете им описват четвърт окръжност с радиус 15 m/s. Моментното ускорение показва колко бързо върхът напредва по тази дъга. Средното ускорение работи само с правата, която свързва първия и последния връх, а тя е по-къса от дъгата. По същия начин се различават преместването и пътят: по права винаги е по-близо.

Числата можем да проверим. Дъгата е четвърт от обиколката на окръжност с радиус 15 m/s, тоест $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Съединителната линия на върховете е хипотенуза на правоъгълен триъгълник с катети 15 m/s, тоест 21,2 m/s. И двете делим на три секунди:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Първото число е моментното ускорение от формулата, второто средното. Колкото по-кратък е участъкът от кръстовището, толкова повече дъгата се слива със съединителната линия и средното ускорение се приближава до моментното.

Кола в завой

Сега колата се движи със същите 54 km/h през по-широк завой с радиус 50 m. Какво ускорение има? Записваме какво знаем и скоростта веднага преобразуваме в метри в секунда:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_{\mathrm{ц}}& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Заместваме във формулата:

$$a_{\mathrm{ц}}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

В сравнение с кръстовището ускорението е почти два пъти по-малко, по-широкият завой е по-мек. Внимавай обаче със скоростта, тя е във формулата на квадрат. Когато колата влезе в същия завой два пъти по-бързо, има четири пъти по-голямо ускорение, 18 m/s², а това вече никоя кола на пътя не може да издържи. Затова се спира преди завоя, а не в него. Ускорението 4,5 m/s² изобщо не е за пренебрегване, това е приблизително като при енергично спиране. Само че сочи настрани.

Земята около Слънцето

Земята обикаля около Слънцето със скорост около 30 km/s, тоест 3 · 10⁴ m/s, на разстояние около 1,5 · 10¹¹ m. Скоростта можем да проверим: един оборот трае година, около 3,16 · 10⁷ s, така че

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Орбитата на Земята не е точно окръжност, но е много близо до нея, така че можем да заместим във формулата:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{ц}}& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Това е само 0,006 m/s². Стрелката на скоростта се променя всяка секунда с едва шест милиметра в секунда, при скорост трийсет километра в секунда това е нищо. За една секунда Земята прелита 30 km и от правата се отклонява само с $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Годината обаче има над трийсет милиона секунди и затова стрелката на скоростта за година се завърта в кръг и орбитата на Земята се затваря.

Защо пералнята центрофугира прането

Барабанът на пералня с радиус 0,25 m при центрофугиране на 1200 об/min се върти с ъглова скорост 40π rad/s. Сега е удобна втората форма на формулата:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{ц}}& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Радианът е просто число, така че от мерните единици остават метри в секунда на квадрат. Ускорението е над четиристотин пъти по-голямо от земното ускорение g, тоест над 400g. Който иска да го провери от скоростта на стената на барабана 31,4 m/s и формулата $\frac{v^2}{r}$, ще получи същото.

Ъгловата скорост е във формулата на квадрат. Пералня, която центрофугира само на 800 об/min, се върти с една трета по-бавно, но ускорението е повече от два пъти по-малко: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, тоест около 1750 m/s². Затова от бавното центрофугиране изваждаш забележимо по-мокро пране.

Какво следва от това за прането? За да обикаля капка вода с барабана, тя трябва непрекъснато да завива, и то с огромно ускорение. Чорапът се задържа на окръжността от стената на барабана, в стената обаче има дупчици. Капката, която се озове пред дупчица, няма вече нищо, което да я завърта. Спира да завива и продължава право по допирателната, навън от барабана. Чорапът остава вътре, а водата е отвън. Какво точно принуждава телата да завиват, е въпрос за силите. Кинематиката ни каза колко ускорение е нужно за такова завиване и при пералнята то е наистина много.

С това описахме движението, но не и причината му. Защо телата потеглят, спират и завиват, обясняват силите и с тях започва втората част на категорията, статията Сила.