Centripetális gyorsulás

Az autó áthalad a körforgalmon, és a sebességmérő mutatója meg sem rezdül. A sofőr nem gyorsít és nem is fékez, az autónak mégis van gyorsulása. A gyorsulás ugyanis nem azt méri, hogyan változik a szám a sebességmérőn, hanem azt, hogyan változik a sebesség egész nyila. Az pedig a kanyarban elfordul. Egyenletes körmozgásnál a gyorsulás mindig a kör közepe felé mutat, és innen kapta a nevét: centripetális gyorsulás.

Ha csak a képletet keresed: a v sebességgel r sugarú körön keringő test centripetális gyorsulása

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

ahol ω a szögsebesség. Hogy merre mutat ez a gyorsulás, és honnan származik a képlet, azt ábrákon mutatjuk meg.

A sebesség nyila folyton elfordul

A gyorsulás megmondja, hogyan változik a sebesség egységnyi idő alatt. A sebesség viszont vektor, nyíl, és kétféleképpen változhat: megnyúlhat vagy megrövidülhet, vagy elfordulhat. Egyenes menti haladásnál a nyíl csak nyúlik és rövidül, ami a megindulásnak és a fékezésnek felel meg. A körön éppen fordítva van. A nyíl hossza nem változik, mert a test végig ugyanolyan gyorsan megy, viszont a nyíl a kör érintője mentén mutat, és így az ív minden kis darabján egy kicsit elfordul. Maga a nyíl elfordulása is a sebesség megváltozása, tehát gyorsulás.

Gyakori tévedés azt állítani, hogy az egyenletes körmozgásnál nincs gyorsulás, mert a sebesség ugyanaz marad. Csak a nagysága ugyanaz. Ha a gyorsulás nulla volna, a sebesség nyila egyáltalán nem változhatna, sem a hossza, sem az iránya, és a test egyenesen menne. Gyorsulás nélkül kanyarodni nem lehet.

Az animáció egy pontot mutat, amely állandó sebességgel kering a körön. A piros sebességnyíl vele együtt fordul, a zöld gyorsulásnyíl pedig minden pillanatban a közép felé mutat.

A zöld nyíl mindig merőleges a pirosra. A gyorsulásnak ezért nincs sem a haladás irányába, sem az ellenkező irányba mutató összetevője, és így a sebesség nagysága nem változik. A gyorsulás teljes egészében a nyíl elforgatására megy el. Hogy miért éppen a közép felé mutat, és mekkora, az ábráról kiderül.

Mekkora a centripetális gyorsulás

Figyeljük a pontot csak egy rövid Δt ideig. Ezalatt az A helyről a B helyre mozdul el, és megteszi a következő utat:

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Az ábrán ez a mozgásdarab kétszer szerepel. Balra a helyzetek kék háromszögét látod: a kör középpontja, valamint az A és a B pont. Két oldala egy-egy r sugár, a harmadik az AB szakasz. Rövid idő alatt az ív majdnem egyenes, így az AB szakasz hossza gyakorlatilag Δs. Jobbra a sebességek zöld háromszöge látható: a két sebességnyíl egy pontból felmérve és a különbségük, a $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, amely a ${\overrightarrow{v}}_1$ hegyétől a ${\overrightarrow{v}}_2$ hegyéig vezet. Mindkét sebességnyíl v hosszú.

Az olvashatóság kedvéért a szög nagyra van rajzolva, te viszont képzeld el egész kicsinek. Az a lényeges, hogy mindkét háromszögnek ugyanaz a φ szöge van a csúcsánál. A sebesség nyila ugyanis mindig merőleges a sugárra, így amikor a sugár φ szöggel elfordul, a sebesség nyila is ugyanennyivel fordul el. A sugár és a nyíl úgy kapcsolódik, mint az L betű két szára: ha az egyik szárat elfordítod, az egész betű elfordul. Mindkét háromszög egyenlő szárú, a szárak közötti szög ugyanakkora. Ezért az alakjuk egyforma, csak a méretük különbözik: hasonlók. Hasonló háromszögekben az alap és a szár aránya megegyezik:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Szavakban: a zöld nyíl annyiszor rövidebb a sebesség nyilánál, ahányszor az AB szakasz rövidebb a sugárnál. A Δs helyére behelyettesítjük a v · Δt kifejezést, és átalakítjuk az egyenletet:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

A bal oldalon az egységnyi idő alatti sebességváltozás áll, vagyis a gyorsulás:

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}$$

Egy kicsit csaltunk, mert az AB szakasz egy hajszállal rövidebb az ívnél. Minél rövidebb ideig figyeljük azonban, annál jobban egybeesik a szakasz az ívvel, és a pillanatnyi gyorsulásnál olyan rövid időt veszünk, hogy a különbséget nem lehet észrevenni. A képlet ezért pontosan érvényes.

Az ábra az irányt is elárulja. A zöld $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ nyíl lefelé mutat, ugyanúgy, mint az AB szakasz felezőpontját a kör középpontjával összekötő egyenes. Kis szögnél majdnem merőleges mindkét sebességnyílra, az érintőre pedig a sugár merőleges. A sebességváltozás, és vele a gyorsulás, így a közép felé mutat.

A mértékegységek is egyeznek:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A képlet ráadásul értelmesen viselkedik. Minél gyorsabban megy a test, annál hosszabb a sebesség nyila, és annál gyorsabban fordul el. Mindkettő növeli a gyorsulást, ezért áll a képletben a sebesség négyzete. A sugár növekedésével a kör egyre jobban kiegyenesedik, és a gyorsulás csökken. Óriási sugárnál a körnek egy darabja majdnem egyenes, a gyorsulás majdnem nulla, éppen úgy, ahogy az állandó sebességű egyenes menetnél lennie kell.

A képlet második alakját akkor kapjuk, ha a sebességet a v = ω · r kifejezéssel helyettesítjük:

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Itt könnyű megbotlani. Az első alakban a sugár a nevezőben áll, a másodikban a számlálóban. Nő a gyorsulás a sugárral, vagy csökken? Mindkettő igaz, csak mindig valami más marad változatlan. Azonos sebességnél a szélesebb kanyar enyhébb, a gyorsulás kisebb. Azonos szögsebességnél, például a körhintán, a szélső lónak nagyobb a sebessége, és ezzel nagyobb a gyorsulása is, mint a középhez közeli lónak.

Negyed körforgalom

Térjünk vissza a körforgalomhoz. Az autó 54 km/h, vagyis 15 m/s sebességgel megy rajta, és a körforgalom negyedét 3 s alatt teszi meg. A negyed elején és végén vett sebességnyilakból kijön az átlagos gyorsulás, nagyjából 7,1 m/s² a közép felé. Mekkora azonban a gyorsulás minden pillanatban?

Szükségünk van a sugárra. 3 s alatt az autó 15 m/s · 3 s = 45 m utat tesz meg, és ez a kör kerületének negyede:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Most jöhet a képlet. A sugarat törtként hagyjuk, hogy a részeredményt ne kelljen kerekíteni, a törttel való osztás pedig a reciprokával való szorzás:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{cp}}& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

A pillanatnyi gyorsulás 7,85 m/s², több az átlagos 7,1 m/s² értéknél. Ez nagyjából annyi, amennyit az autó száraz aszfalton teljes fékezéssel elér, tehát ilyen kicsi körforgalom 54 km/h sebességhez valóban éles. Hogyhogy különböznek a számok, ha a gyorsulás végig egyforma nagy? Az átlagos gyorsulás csak az első és az utolsó sebességnyílból és a különbségükből indul ki. Képzeld el a körforgalom negyedének összes sebességnyilát egy pontból kiindulva. A hegyeik egy 15 m/s sugarú kör negyedét írják le. A pillanatnyi gyorsulás azt adja meg, milyen gyorsan halad a hegy ezen az íven. Az átlagos gyorsulás csak az első és az utolsó hegyet összekötő egyenessel dolgozik, és ez rövidebb az ívnél. Ugyanígy különbözik az elmozdulás és az út: egyenes mentén mindig közelebb van.

A számokat ellenőrizhetjük. Az ív egy 15 m/s sugarú kör kerületének negyede, vagyis $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A hegyeket összekötő szakasz a 15 m/s befogójú derékszögű háromszög átfogója, vagyis 21,2 m/s. Mindkettőt elosztjuk három másodperccel:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Az első szám a képletből adódó pillanatnyi gyorsulás, a második az átlagos. Minél rövidebb a körforgalomból vett szakasz, annál jobban fedi egymást az ív és a szakasz, és az átlagos gyorsulás annál jobban megközelíti a pillanatnyit.

Autó a kanyarban

Most ugyanazzal az 54 km/h sebességgel megy az autó egy szélesebb, 50 m sugarú kanyarban. Mekkora a gyorsulása? Felírjuk, amit tudunk, és a sebességet rögtön átváltjuk méter per másodpercre:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_{\mathrm{cp}}& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Behelyettesítünk a képletbe:

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A körforgalomhoz képest a gyorsulás majdnem a fele, a szélesebb kanyar enyhébb. Vigyázz azonban a sebességgel, az a képletben négyzeten áll. Ha az autó ugyanebbe a kanyarba kétszer gyorsabban hajt be, a gyorsulása négyszer nagyobb, 18 m/s², és ezt már egyetlen autó sem bírja az úton. Ezért fékezünk a kanyar előtt, és nem benne. A 4,5 m/s² gyorsulás egyáltalán nem megvetendő, nagyjából olyan, mint egy határozott fékezés. Csak oldalra mutat.

A Föld a Nap körül

A Föld nagyjából 30 km/s, vagyis 3 · 10⁴ m/s sebességgel kering a Nap körül, körülbelül 1,5 · 10¹¹ m távolságban. A sebességet ellenőrizhetjük: egy keringés egy évig tart, nagyjából 3,16 · 10⁷ s, így

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

A Föld pályája nem pontosan kör, de nagyon közel áll hozzá, így behelyettesíthetünk a képletbe:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{cp}}& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Ez csupán 0,006 m/s². A sebesség nyila minden másodpercben mindössze hat milliméter per másodperccel változik, a harminc kilométer per másodperces sebességhez képest semmivel. Egy másodperc alatt a Föld 30 km utat tesz meg, és közben az egyenestől mindössze $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$ távolságra tér el. Az évben viszont több mint harmincmillió másodperc van, így a sebesség nyila egy év alatt körbefordul, és a Föld pályája bezárul.

Miért centrifugálja ki a mosógép a ruhát

A 0,25 m sugarú mosógépdob 1200 ford/min fordulatszámú centrifugáláskor 40π rad/s szögsebességgel forog. Most jön jól a képlet második alakja:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{cp}}& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

A radián puszta szám, ezért a mértékegységekből méter per másodpercnégyzet marad. A gyorsulás több mint négyszázszor nagyobb a g nehézségi gyorsulásnál, vagyis több mint 400g. Aki ezt ellenőrizni szeretné a dob falának 31,4 m/s sebességéből és a $\frac{v^2}{r}$ képletből, ugyanezt kapja.

A szögsebesség a képletben négyzeten áll. A mosógép, amely csak 800 ford/min fordulatszámmal centrifugál, egyharmaddal lassabban forog, a gyorsulása viszont kevesebb mint fele akkora: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, vagyis nagyjából 1750 m/s². Ezért veszed ki a lassú centrifugálásból érezhetően nedvesebb ruhát.

Mi következik ebből a ruhára? Hogy a vízcsepp a dobbal együtt keringjen, folyamatosan kanyarodnia kell, óriási gyorsulással. A zoknit a körpályán a dob fala tartja, a falon viszont lyukak vannak. A csepp, amelyik egy lyuk fölé kerül, már semmit sem talál, ami elfordítaná. Nem kanyarodik többé, hanem egyenesen halad tovább az érintő mentén, ki a dobból. A zokni bent marad, a víz kint van. Hogy pontosan mi kényszeríti a testeket kanyarodásra, az az erők kérdése. A kinematika megmondta, mekkora gyorsulás kell az ilyen kanyarodáshoz, és a mosógépnél ez valóban sok.

Ezzel leírtuk a mozgást, de az okát nem. Hogy miért indulnak el, fékeznek és kanyarodnak a testek, azt az erők magyarázzák, és ezekkel kezdődik a kategória második része, az Erő című cikk.