Доцентрове прискорення

Автомобіль проїжджає кільцеву розв'язку, а стрілка спідометра навіть не ворухнеться. Водій не додає газу й не гальмує, а проте автомобіль має прискорення. Адже прискорення вимірює не те, як змінюється число на спідометрі, а те, як змінюється вся стрілка швидкості. А вона на повороті повертається. Під час рівномірного руху по колу прискорення завжди спрямоване до центру кола, і через це воно дістало назву доцентрове прискорення.

Якщо тобі потрібна лише формула: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має доцентрове прискорення

$$a_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

де ω — кутова швидкість. Куди це прискорення спрямоване й звідки взялася ця формула, покажемо на рисунках.

Стрілка швидкості весь час повертається

Прискорення показує, як змінюється швидкість за одиницю часу. Швидкість — це вектор, стрілка, і вона може змінитися двома способами: стати довшою чи коротшою або повернутися. Під час руху по прямій стрілка лише видовжується й скорочується, що відповідає розгону й гальмуванню. На колі все навпаки. Довжина стрілки не змінюється, бо тіло їде з однаковою швидкістю, зате стрілка напрямлена по дотичній до кола, а тому з кожним шматочком дуги трохи повертається. Навіть саме повертання стрілки — це зміна швидкості, а отже, прискорення.

Поширена помилка — стверджувати, що рівномірний рух по колу не має прискорення, бо швидкість лишається такою самою. Такою самою лишається лише її модуль. Якби прискорення було нульовим, стрілка швидкості не мала б змінюватися взагалі, ні довжиною, ні напрямом, і тіло їхало б по прямій. Повертати без прискорення не можна.

Анімація показує точку, що рухається по колу зі сталою швидкістю. Червона стрілка швидкості обертається разом із нею, зелена стрілка прискорення щомиті вказує до центру.

Зелена стрілка завжди стоїть на червоній перпендикулярно. Тому прискорення не має жодної складової за напрямом руху чи проти нього, і модуль швидкості не змінюється. Усе прискорення витрачається на повертання стрілки. Чому воно спрямоване саме до центру і яке воно за величиною, розкриє рисунок.

Чому дорівнює доцентрове прискорення

Спостерігатимемо за точкою лише коротку мить Δt. За цей час вона зсувається з місця A до місця B і долає шлях

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

На рисунку цей шматок руху зображено двічі. Ліворуч бачиш синій трикутник положень: центр кола та точки A і B. Дві його сторони — радіуси r, третя — відрізок AB. За коротку мить дуга майже пряма, тому відрізок AB має довжину практично Δs. Праворуч знайдеш зелений трикутник швидкостей: обидві стрілки швидкості, відкладені з однієї точки, та їхня різниця $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, що веде від вістря ${\overrightarrow{v}}_1$ до вістря ${\overrightarrow{v}}_2$. Обидві стрілки швидкості мають довжину v.

Задля чіткості кут накреслено великим, але ти уяви його зовсім малим. Важливо, що обидва трикутники мають при вершині однаковий кут φ. Стрілка швидкості завжди перпендикулярна до радіуса, тож коли радіус повертається на кут φ, на такий самий кут повертається й стрілка швидкості. Радіус і стрілка з'єднані, як плечі літери Г: повернеш одне плече — повернеться вся літера. Обидва трикутники рівнобедрені з однаковим кутом між бічними сторонами. Тому вони мають однакову форму й різняться лише розміром: вони подібні. У подібних трикутників відношення основи до бічної сторони однакове:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Словами: зелена стрілка настільки ж коротша за стрілку швидкості, наскільки відрізок AB коротший за радіус. Замість Δs підставимо v · Δt і перетворимо рівняння:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

У лівій частині стоїть зміна швидкості за одиницю часу, а це і є прискорення:

$$a_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=\frac{v^2}{r}$$

Ми трохи схитрували, бо відрізок AB на волосинку коротший за дугу. Але чим коротшу мить ми спостерігаємо, тим більше відрізок збігається з дугою, а для миттєвого прискорення беремо мить настільки коротку, що різниці не помітити. Тому формула справджується точно.

Рисунок розкриває й напрям. Зелена стрілка $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ спрямована вниз, так само як лінія, що з'єднує середину відрізка AB із центром кола. Для малого кута вона майже перпендикулярна до обох стрілок швидкості, а перпендикулярно до дотичної веде радіус. Зміна швидкості, а з нею й прискорення, спрямована до центру.

Збігаються й одиниці:

$$\frac{(\mathrm{м}/\mathrm{с}{)}^2}{\mathrm{м}}=\frac{{\mathrm{м}}^2{/\mathrm{с}}^2}{\mathrm{м}}={\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Формула до того ж поводиться розумно. Чим швидше їде тіло, тим довша стрілка швидкості й тим швидше вона повертається. Обидва чинники збільшують прискорення, тому в формулі швидкість стоїть у квадраті. Зі зростанням радіуса коло випрямляється, а прискорення зменшується. За величезного радіуса шматок кола майже пряма, а прискорення майже нульове, саме так, як і має бути під час їзди прямо зі сталою швидкістю.

Другий вигляд формули виходить, коли швидкість замінити виразом v = ω · r:

$$a_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Тут легко спіткнутися. У першому вигляді радіус стоїть у знаменнику, у другому — у чисельнику. То прискорення зростає з радіусом чи спадає? Правильні обидва твердження, лише щоразу незмінним лишається щось інше. За однакової швидкості ширший поворот м'якший, прискорення менше. За однакової кутової швидкості, наприклад на каруселі, конячка біля краю має більшу швидкість, а тим самим і більше прискорення, ніж конячка біля центру.

Чверть кільцевої розв'язки

Повернімося на кільцеву розв'язку. Автомобіль їде нею зі швидкістю 54 км/год, тобто 15 м/с, а чверть розв'язки проїжджає за 3 с. Зі стрілки швидкості на початку й наприкінці чверті виходить середнє прискорення приблизно 7,1 м/с² до центру. Але яке прискорення в кожну мить?

Потрібен радіус. За 3 с автомобіль проїжджає 15 м/с · 3 с = 45 м, і це чверть довжини кола:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{м}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{м}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{м}\end{array}$$

Тепер підставимо у формулу. Радіус залишимо дробом, щоб у проміжному результаті не округлювати, а ділення на дріб — це множення на обернене число:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{м}/\mathrm{с}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{м}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\approx 7,85{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\end{array}$$

Миттєве прискорення — 7,85 м/с², більше за середнє 7,1 м/с². Це приблизно стільки, скільки автомобіль здатен розвинути під час повного гальмування на сухому асфальті, тож така мала розв'язка на 54 км/год — справді крутий поворот. Чому числа відрізняються, коли прискорення весь час однакове за величиною? Середнє прискорення випливає лише з першої й останньої стрілок швидкості та з їхньої різниці. Уяви всі стрілки швидкості з тієї чверті розв'язки, проведені з однієї точки. Їхні вістря опишуть чверть кола радіуса 15 м/с. Миттєве прискорення показує, як швидко вістря просувається цією дугою. Середнє прискорення працює лише з прямою, що сполучає перше й останнє вістря, а вона коротша за дугу. Так само відрізняються переміщення й шлях: по прямій завжди ближче.

Числа можна перевірити. Дуга — це чверть довжини кола радіуса 15 м/с, тобто $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 23,6\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Лінія, що сполучає вістря, — гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 15 м/с, тобто 21,2 м/с. Обидва числа поділимо на три секунди:

$$\frac{23,6\mathrm{м}/\mathrm{с}}{3\mathrm{с}}\approx 7,85{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2,\frac{21,2\mathrm{м}/\mathrm{с}}{3\mathrm{с}}\approx 7,1{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Перше число — миттєве прискорення з формули, друге — середнє. Чим коротша ділянка розв'язки, тим більше дуга збігається з лінією і тим ближче середнє прискорення до миттєвого.

Автомобіль на повороті

Тепер автомобіль їде з тими самими 54 км/год ширшим поворотом радіуса 50 м. Яке в нього прискорення? Запишемо, що знаємо, а швидкість одразу переведемо в метри за секунду:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=15\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ r& =50\mathrm{м}\\ a_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}& =?({\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2)\end{array}$$

Підставимо у формулу:

$$a_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=\frac{(15\mathrm{м}/\mathrm{с}{)}^2}{50\mathrm{м}}=\frac{225{\mathrm{м}}^2{/\mathrm{с}}^2}{50\mathrm{м}}=4,5{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Порівняно з розв'язкою прискорення майже вдвічі менше, ширший поворот м'якший. Але стережися швидкості, вона у формулі в квадраті. Якщо автомобіль в'їде в той самий поворот удвічі швидше, прискорення буде вчетверо більше, 18 м/с², а такого не витримає жоден автомобіль на дорозі. Тому гальмують перед поворотом, а не в ньому. Прискорення 4,5 м/с² зовсім не мале, це приблизно як різке гальмування. Тільки спрямоване вбік.

Земля навколо Сонця

Земля обертається навколо Сонця зі швидкістю приблизно 30 км/с, тобто 3 · 10⁴ м/с, на відстані приблизно 1,5 · 10¹¹ м. Швидкість можна перевірити: один оберт триває рік, приблизно 3,16 · 10⁷ с, тому

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{м}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{с}}\approx 30000\mathrm{м}/\mathrm{с}.$$

Орбіта Землі — не зовсім коло, але дуже близька до нього, тому можемо підставити у формулу:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{м}/\mathrm{с}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{м}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\end{array}$$

Це лише 0,006 м/с². Стрілка швидкості щосекунди змінюється лише на шість міліметрів за секунду, на швидкості тридцять кілометрів за секунду це ніщо. За одну секунду Земля пролітає 30 км і відхиляється від прямої лише на $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot (1\mathrm{с}{)}^2=3\mathrm{м}\mathrm{м}$. Але в році понад тридцять мільйонів секунд, тому стрілка швидкості за рік робить повний оберт, і траєкторія Землі замикається.

Чому пральна машина віджимає білизну

Барабан пральної машини радіусом 0,25 м під час віджимання на 1 200 об/хв обертається з кутовою швидкістю 40π рад/с. Тепер стане в пригоді другий вигляд формули:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{м}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\approx 3950{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\end{array}$$

Радіан — голе число, тож з одиниць лишаються метри за секунду в квадраті. Прискорення більше за прискорення вільного падіння g більш ніж у чотириста разів, тобто понад 400g. Хто захоче перевірити це зі швидкості стінки барабана 31,4 м/с і формули $\frac{v^2}{r}$, отримає те саме.

Кутова швидкість у формулі стоїть у квадраті. Пральна машина, що віджимає лише на 800 об/хв, обертається на третину повільніше, а прискорення має більш ніж удвічі менше: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, тобто приблизно 1 750 м/с². Тому з повільного віджимання ти витягаєш помітно вологішу білизну.

Що з цього випливає для білизни? Щоб крапля води оберталася разом із барабаном, вона мусить безперервно повертати, до того ж з величезним прискоренням. Шкарпетку на колі утримує стінка барабана, але в стінці є дірочки. Крапля, що опиняється над дірочкою, вже не має нічого, що її повертало б. Вона перестає повертати й рухається далі прямо по дотичній, назовні з барабана. Шкарпетка лишається всередині, а вода назовні. Що саме змушує тіла повертати, — питання про сили. Кінематика сказала нам, скільки прискорення потребує таке повертання, і для пральної машини це справді багато.

Отже, ми описали рух, але не його причину. Чому тіла розганяються, гальмують і повертають, пояснюють сили, і ними починається друга частина категорії, стаття Сила.