Zentripetalbeschleunigung

Ein Auto fährt durch einen Kreisverkehr, und die Tachonadel rührt sich nicht. Der Fahrer gibt weder Gas noch bremst er, und trotzdem hat das Auto eine Beschleunigung. Die Beschleunigung misst nämlich nicht, wie sich die Zahl auf dem Tacho ändert, sondern wie sich der ganze Geschwindigkeitspfeil ändert. Und der dreht sich in der Kurve. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung zeigt die Beschleunigung immer zum Mittelpunkt des Kreises, und danach hat sie ihren Namen bekommen: Zentripetalbeschleunigung.

Wenn du nur die Formel suchst: Ein Körper, der mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit dem Radius r umläuft, hat die Zentripetalbeschleunigung

$$a_Z=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit ist. Wohin diese Beschleunigung zeigt und woher die Formel kommt, zeigen wir an Bildern.

Der Geschwindigkeitspfeil dreht sich ständig

Die Beschleunigung sagt, wie sich die Geschwindigkeit pro Zeiteinheit ändert. Die Geschwindigkeit ist aber ein Vektor, ein Pfeil, und der kann sich auf zweierlei Weise ändern: Er wird länger oder kürzer, oder er dreht sich. Bei der Fahrt auf einer Geraden wird der Pfeil nur länger und kürzer, was dem Anfahren und Bremsen entspricht. Auf dem Kreis ist es genau umgekehrt. Die Länge des Pfeils ändert sich nicht, weil der Körper gleich schnell bleibt, dafür zeigt der Pfeil in Richtung der Tangente an den Kreis und dreht sich so mit jedem Stück Bogen ein wenig. Auch das bloße Drehen des Pfeils ist eine Änderung der Geschwindigkeit und damit eine Beschleunigung.

Ein häufiger Irrtum ist die Behauptung, die gleichförmige Kreisbewegung habe keine Beschleunigung, weil die Geschwindigkeit gleich bleibt. Gleich bleibt nur ihr Betrag. Wäre die Beschleunigung null, dürfte sich der Geschwindigkeitspfeil überhaupt nicht ändern, weder in der Länge noch in der Richtung, und der Körper würde geradeaus fahren. Ohne Beschleunigung gibt es keine Kurve.

Die Animation zeigt einen Punkt, der mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis umläuft. Der rote Geschwindigkeitspfeil dreht sich mit ihm, der grüne Beschleunigungspfeil zeigt in jedem Augenblick zum Mittelpunkt.

Der grüne Pfeil steht immer senkrecht auf dem roten. Die Beschleunigung hat deshalb keine Komponente in Fahrtrichtung oder gegen sie, und der Betrag der Geschwindigkeit ändert sich nicht. Die ganze Beschleunigung wird fürs Drehen des Pfeils verbraucht. Warum sie gerade zum Mittelpunkt zeigt und wie groß sie ist, verrät das Bild.

Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung?

Wir beobachten den Punkt nur für kurze Zeit Δt. In dieser Zeit rückt er von der Stelle A zur Stelle B und legt diesen Weg zurück:

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Im Bild ist dieses Stück Bewegung zweimal zu sehen. Links siehst du das blaue Dreieck der Orte: den Mittelpunkt des Kreises und die Punkte A und B. Zwei seiner Seiten sind Radien r, die dritte ist die Strecke AB. In kurzer Zeit ist der Bogen fast gerade, die Strecke AB ist also praktisch Δs lang. Rechts findest du das grüne Dreieck der Geschwindigkeiten: beide Geschwindigkeitspfeile von einem Punkt aus und ihre Differenz $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, die von der Spitze von ${\overrightarrow{v}}_1$ zur Spitze von ${\overrightarrow{v}}_2$ führt. Beide Geschwindigkeitspfeile sind v lang.

Der Deutlichkeit halber ist der Winkel groß gezeichnet, du stellst ihn dir aber ganz klein vor. Wichtig ist, dass beide Dreiecke an der Spitze denselben Winkel φ haben. Der Geschwindigkeitspfeil steht nämlich immer senkrecht auf dem Radius, wenn sich also der Radius um den Winkel φ dreht, dreht sich um denselben Winkel auch der Geschwindigkeitspfeil. Radius und Pfeil sind verbunden wie die Schenkel des Buchstabens L: Drehst du den einen Schenkel, dreht sich der ganze Buchstabe. Beide Dreiecke sind gleichschenklig mit demselben Winkel zwischen den Schenkeln. Sie haben deshalb dieselbe Form und unterscheiden sich nur in der Größe: Sie sind ähnlich. Bei ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis von Basis und Schenkel gleich:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

In Worten: Der grüne Pfeil ist so viel mal kürzer als der Geschwindigkeitspfeil, wie die Strecke AB kürzer ist als der Radius. Für Δs setzen wir v · Δt ein und formen die Gleichung um:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

Auf der linken Seite steht die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit, das ist die Beschleunigung:

$$a_Z=\frac{v^2}{r}$$

Ein bisschen gemogelt haben wir, denn die Strecke AB ist um ein Haar kürzer als der Bogen. Je kürzer wir aber beobachten, desto mehr fallen Strecke und Bogen zusammen, und für die Momentanbeschleunigung nehmen wir eine so kurze Zeit, dass wir den Unterschied nicht erkennen. Die Formel gilt deshalb genau.

Das Bild verrät auch die Richtung. Der grüne Pfeil $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ zeigt nach unten, genau wie die Verbindung der Mitte der Strecke AB mit dem Mittelpunkt des Kreises. Für einen kleinen Winkel steht er fast senkrecht auf beiden Geschwindigkeitspfeilen, und senkrecht zur Tangente verläuft der Radius. Die Geschwindigkeitsänderung und mit ihr die Beschleunigung zeigen also zum Mittelpunkt.

Auch die Einheiten stimmen:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Die Formel verhält sich außerdem vernünftig. Je schneller der Körper fährt, desto länger ist der Geschwindigkeitspfeil und desto schneller dreht er sich. Beides vergrößert die Beschleunigung, deshalb steht in der Formel die Geschwindigkeit zum Quadrat. Mit wachsendem Radius streckt sich der Kreis, und die Beschleunigung sinkt. Bei riesigem Radius ist ein Stück Kreis fast eine Gerade und die Beschleunigung fast null, genau wie es bei der Fahrt geradeaus mit konstanter Geschwindigkeit sein muss.

Die zweite Form der Formel erhalten wir, wenn wir die Geschwindigkeit durch den Ausdruck v = ω · r ersetzen:

$$a_Z=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Hier stolpert man leicht. In der ersten Form steht der Radius im Nenner, in der zweiten im Zähler. Wächst die Beschleunigung mit dem Radius, oder sinkt sie? Beides stimmt, nur bleibt jedes Mal etwas anderes unverändert. Bei gleicher Geschwindigkeit ist eine weitere Kurve milder, die Beschleunigung ist kleiner. Bei gleicher Winkelgeschwindigkeit, etwa auf dem Karussell, hat das Pferdchen am Rand eine größere Geschwindigkeit und damit auch eine größere Beschleunigung als das Pferdchen nahe der Mitte.

Ein Viertel des Kreisverkehrs

Kehren wir zum Kreisverkehr zurück. Das Auto fährt darin mit 54 km/h, also 15 m/s, und durchfährt ein Viertel des Kreisverkehrs in 3 s. Aus dem Geschwindigkeitspfeil am Anfang und am Ende des Viertels ergibt sich eine durchschnittliche Beschleunigung von etwa 7,1 m/s² zur Mitte hin. Wie groß ist aber die Beschleunigung in jedem Augenblick?

Wir brauchen den Radius. In 3 s legt das Auto 15 m/s · 3 s = 45 m zurück, und das ist ein Viertel des Kreisumfangs:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Jetzt gehört das in die Formel. Den Radius lassen wir als Bruch stehen, damit wir im Zwischenergebnis nicht runden, und das Teilen durch einen Bruch ist das Multiplizieren mit seinem Kehrwert:

$$\begin{array}{rl}{a}_Z& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Die Momentanbeschleunigung beträgt 7,85 m/s², mehr als die durchschnittlichen 7,1 m/s². Das ist ungefähr so viel, wie ein Auto bei Vollbremsung auf trockenem Asphalt schafft, ein so kleiner Kreisverkehr ist bei 54 km/h also wirklich scharf. Wie kommt es, dass die Zahlen verschieden sind, wenn die Beschleunigung die ganze Zeit gleich groß ist? Die durchschnittliche Beschleunigung geht nur vom ersten und letzten Geschwindigkeitspfeil und von ihrer Differenz aus. Stell dir alle Geschwindigkeitspfeile aus diesem Viertel des Kreisverkehrs vor, von einem Punkt aus gezeichnet. Ihre Spitzen beschreiben ein Viertel eines Kreises mit dem Radius 15 m/s. Die Momentanbeschleunigung gibt an, wie schnell die Spitze auf diesem Bogen vorankommt. Die durchschnittliche Beschleunigung arbeitet nur mit der geraden Verbindung der ersten und der letzten Spitze, und die ist kürzer als der Bogen. Genauso unterscheiden sich Verschiebung und Weg: Geradeaus ist es immer kürzer.

Die Zahlen können wir prüfen. Der Bogen ist ein Viertel des Umfangs eines Kreises mit dem Radius 15 m/s, also $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Die Verbindung der Spitzen ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 15 m/s, also 21,2 m/s. Beides teilen wir durch drei Sekunden:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Die erste Zahl ist die Momentanbeschleunigung aus der Formel, die zweite die durchschnittliche. Je kürzer der Abschnitt des Kreisverkehrs, desto mehr decken sich Bogen und Verbindung, und die durchschnittliche Beschleunigung nähert sich der momentanen.

Auto in der Kurve

Jetzt fährt das Auto mit denselben 54 km/h durch eine weitere Kurve mit dem Radius 50 m. Welche Beschleunigung hat es? Wir schreiben auf, was wir wissen, und rechnen die Geschwindigkeit gleich in Meter pro Sekunde um:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_Z& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Wir setzen in die Formel ein:

$$a_Z=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Gegenüber dem Kreisverkehr ist die Beschleunigung fast halb so groß, die weitere Kurve ist milder. Vorsicht aber bei der Geschwindigkeit, die steht in der Formel zum Quadrat. Fährt das Auto in dieselbe Kurve doppelt so schnell hinein, hat es eine viermal so große Beschleunigung, 18 m/s², und das schafft kein Auto auf der Straße. Deshalb bremst man vor der Kurve und nicht erst in ihr. Die Beschleunigung 4,5 m/s² ist gar nicht zu verachten, das ist ungefähr wie ein kräftiges Bremsen. Sie zeigt nur zur Seite.

Die Erde um die Sonne

Die Erde kreist mit etwa 30 km/s um die Sonne, also 3 · 10⁴ m/s, in einer Entfernung von etwa 1,5 · 10¹¹ m. Die Geschwindigkeit können wir prüfen: Ein Umlauf dauert ein Jahr, etwa 3,16 · 10⁷ s, also

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Die Bahn der Erde ist nicht genau ein Kreis, aber ihm sehr nahe, wir können also in die Formel einsetzen:

$$\begin{array}{rl}{a}_Z& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Das sind nur 0,006 m/s². Der Geschwindigkeitspfeil ändert sich jede Sekunde um winzige sechs Millimeter pro Sekunde, verglichen mit dreißig Kilometern pro Sekunde praktisch nichts. In einer Sekunde legt die Erde 30 km zurück und weicht dabei von der Geraden nur um $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$ ab. Ein Jahr hat aber über dreißig Millionen Sekunden, und so dreht sich der Geschwindigkeitspfeil im Lauf des Jahres einmal herum, und die Bahn der Erde schließt sich.

Warum die Waschmaschine die Wäsche schleudert

Die Trommel einer Waschmaschine mit dem Radius 0,25 m dreht sich beim Schleudern mit 1.200 U/min mit der Winkelgeschwindigkeit 40π rad/s. Jetzt kommt die zweite Form der Formel gelegen:

$$\begin{array}{rl}{a}_Z& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3.950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Der Radiant ist eine bloße Zahl, von den Einheiten bleibt also Meter pro Sekunde zum Quadrat. Die Beschleunigung ist über vierhundertmal größer als die Fallbeschleunigung g, also über 400g. Wer es aus der Geschwindigkeit der Trommelwand 31,4 m/s und der Formel $\frac{v^2}{r}$ nachprüfen will, erhält dasselbe.

Die Winkelgeschwindigkeit steht in der Formel zum Quadrat. Eine Waschmaschine, die nur mit 800 U/min schleudert, dreht sich um ein Drittel langsamer, hat aber nicht einmal halb so große Beschleunigung: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, also etwa 1.750 m/s². Deshalb holst du aus dem langsamen Schleudern deutlich nassere Wäsche heraus.

Was folgt daraus für die Wäsche? Damit ein Wassertropfen mit der Trommel umläuft, muss er ständig abbiegen, und zwar mit riesiger Beschleunigung. Die Socke wird von der Trommelwand auf der Kreisbahn gehalten, in der Wand sind aber Löcher. Ein Tropfen, der über ein Loch gelangt, hat nichts mehr, was ihn umlenkt. Er hört auf abzubiegen und fliegt geradeaus entlang der Tangente aus der Trommel hinaus. Die Socke bleibt drinnen, und das Wasser ist draußen. Was genau die Körper zum Abbiegen zwingt, ist eine Frage der Kräfte. Die Kinematik hat uns gesagt, wie viel Beschleunigung ein solches Abbiegen braucht, und bei der Waschmaschine ist es wirklich viel.

Damit haben wir die Bewegung beschrieben, aber nicht ihre Ursache. Warum Körper anfahren, bremsen und abbiegen, erklären die Kräfte, mit ihnen beginnt der zweite Teil der Kategorie, der Artikel Kraft.