Dostředivé zrychlení

Auto projíždí kruhový objezd a ručička tachometru se ani nehne. Řidič nepřidává ani nebrzdí, a přesto má auto zrychlení. Zrychlení totiž neměří, jak se mění číslo na tachometru, ale jak se mění celá šipka rychlosti. A ta se v zatáčce stáčí. Při rovnoměrném pohybu po kružnici míří zrychlení vždycky do středu kružnice, a podle toho dostalo název dostředivé zrychlení.

Pokud hledáte jen vzorec: těleso, které obíhá rychlostí v po kružnici o poloměru r, má dostředivé zrychlení

$$a_d=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

kde ω je úhlová rychlost. Kam to zrychlení míří a kde se ten vzorec vzal, si ukážeme na obrázcích.

Šipka rychlosti se pořád stáčí

Zrychlení říká, jak se rychlost mění za jednotku času. Rychlost je ale vektor, šipka, a ta se může změnit dvojím způsobem: prodlouží se nebo zkrátí, anebo se otočí. Při jízdě po přímce se šipka jen natahuje a zkracuje, což odpovídá rozjíždění a brzdění. Na kružnici platí pravý opak. Délka šipky se nemění, protože těleso jede stále stejně rychle, zato šipka míří po tečně ke kružnici, a tak se s každým kouskem oblouku trochu otočí. I samotné otáčení šipky je změna rychlosti, a tedy zrychlení.

Častým omylem je tvrdit, že rovnoměrný pohyb po kružnici zrychlení nemá, protože rychlost zůstává stejná. Stejná je jen její velikost. Kdyby zrychlení bylo nulové, šipka rychlosti by se nesměla měnit vůbec, ani délkou, ani směrem, a těleso by jelo rovně. Zatáčet bez zrychlení nejde.

Animace ukazuje bod, který obíhá po kružnici stálou rychlostí. Červená šipka rychlosti se otáčí s ním, zelená šipka zrychlení v každém okamžiku ukazuje do středu.

Zelená šipka stojí na červené vždy kolmo. Zrychlení proto nemá žádnou složku po směru jízdy ani proti ní, a velikost rychlosti se tak nemění. Veškeré zrychlení se spotřebuje na otáčení šipky. Proč míří právě do středu a jak je velké, odhalí obrázek.

Jak velké je dostředivé zrychlení

Pozorujme bod jen po krátkou chvíli Δt. Za tu dobu se posune z místa A do místa B a urazí dráhu

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Na obrázku je tenhle kousek pohybu dvakrát. Vlevo vidíte modrý trojúhelník poloh: střed kružnice a body A a B. Dvě jeho strany jsou poloměry r, třetí je úsečka AB. Za krátkou chvíli je oblouk téměř rovný, takže úsečka AB je dlouhá prakticky Δs. Vpravo najdete zelený trojúhelník rychlostí: obě šipky rychlosti vynesené z jednoho bodu a jejich rozdíl $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, který vede od hrotu ${\overrightarrow{v}}_1$ k hrotu ${\overrightarrow{v}}_2$. Obě šipky rychlosti jsou dlouhé v.

Kvůli čitelnosti je úhel nakreslený velký, vy si ho ale představte docela malý. Podstatné je, že oba trojúhelníky mají u vrcholu stejný úhel φ. Šipka rychlosti je totiž vždycky kolmá k poloměru, takže když se poloměr otočí o úhel φ, otočí se o stejný úhel i šipka rychlosti. Poloměr a šipka jsou spojené jako ramena písmene L: otočíte-li jedno rameno, otočí se celé písmeno. Oba trojúhelníky jsou rovnoramenné se stejným úhlem mezi rameny. Mají proto stejný tvar a liší se jen velikostí: jsou podobné. U podobných trojúhelníků je poměr základny a ramene stejný:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Slovy: zelená šipka je tolikrát kratší než šipka rychlosti, kolikrát je úsečka AB kratší než poloměr. Za Δs dosadíme v · Δt a rovnici upravíme:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

Na levé straně stojí změna rychlosti za jednotku času, což je zrychlení:

$$a_d=\frac{v^2}{r}$$

Trochu jsme šidili, protože úsečka AB je o chlup kratší než oblouk. Čím kratší chvíli ale sledujeme, tím víc úsečka s obloukem splývá, a pro okamžité zrychlení bereme chvíli tak krátkou, že rozdíl nepoznáme. Vzorec proto platí přesně.

Obrázek prozradí i směr. Zelená šipka $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ míří dolů, stejně jako spojnice středu úsečky AB se středem kružnice. Pro malý úhel je téměř kolmá k oběma šipkám rychlosti, a kolmo na tečnu vede poloměr. Změna rychlosti, a s ní i zrychlení, tak míří do středu.

Sedí i jednotky:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Vzorec se navíc chová rozumně. Čím rychleji těleso jede, tím delší je šipka rychlosti a tím rychleji se stáčí. Obojí zrychlení zvětšuje, proto je ve vzorci rychlost na druhou. S rostoucím poloměrem se kružnice narovnává a zrychlení klesá. U obrovského poloměru je kus kružnice téměř přímka a zrychlení téměř nulové, přesně jak to u jízdy rovně stálou rychlostí má být.

Druhý tvar vzorce vyjde, když rychlost nahradíme výrazem v = ω · r:

$$a_d=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Tady se snadno zakopne. V prvním tvaru stojí poloměr ve jmenovateli, ve druhém v čitateli. Roste zrychlení s poloměrem, nebo klesá? Platí obojí, jen pokaždé zůstává beze změny něco jiného. Při stejné rychlosti je širší zatáčka mírnější, zrychlení je menší. Při stejné úhlové rychlosti, třeba na kolotoči, má koník u kraje větší rychlost, a tím i větší zrychlení než koník u středu.

Čtvrtina kruhového objezdu

Vraťme se na kruhový objezd. Auto po něm jede rychlostí 54 km/h, tedy 15 m/s, a čtvrtinu objezdu projede za 3 s. Ze šipky rychlosti na začátku a na konci čtvrtiny vyjde průměrné zrychlení asi 7,1 m/s² do středu. Jaké je ale zrychlení v každém okamžiku?

Potřebujeme poloměr. Za 3 s ujede auto 15 m/s · 3 s = 45 m a to je čtvrtina obvodu kružnice:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\doteq 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Teď to patří do vzorce. Poloměr ponecháme jako zlomek, ať v mezivýsledku nezaokrouhlujeme, a dělení zlomkem je násobení jeho převrácenou hodnotou:

$$\begin{array}{rl}{a}_d& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\doteq 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Okamžité zrychlení je 7,85 m/s², víc než průměrných 7,1 m/s². Je to zhruba tolik, kolik auto zvládne při plném brzdění na suchém asfaltu, takže tak malý objezd je na 54 km/h opravdu ostrý. Jak to, že se čísla liší, když je zrychlení celou dobu stejně velké? Průměrné zrychlení vychází jen z první a poslední šipky rychlosti a z jejich rozdílu. Představte si všechny šipky rychlosti z té čtvrtiny objezdu, vedené z jednoho bodu. Jejich hroty opíšou čtvrtinu kružnice o poloměru 15 m/s. Okamžité zrychlení udává, jak rychle hrot postupuje po tomhle oblouku. Průměrné zrychlení pracuje jen s přímou spojnicí prvního a posledního hrotu, a ta je kratší než oblouk. Stejně se liší posunutí a dráha: po přímce je to vždycky blíž.

Čísla si můžeme ověřit. Oblouk je čtvrtina obvodu kružnice o poloměru 15 m/s, tedy $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Spojnice hrotů je přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 15 m/s, tedy 21,2 m/s. Obojí vydělíme třemi sekundami:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\doteq 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\doteq 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

První číslo je okamžité zrychlení ze vzorce, druhé průměrné. Čím kratší úsek objezdu, tím víc se oblouk se spojnicí kryje a průměrné zrychlení se blíží okamžitému.

Auto v zatáčce

Teď auto jede stejnými 54 km/h širší zatáčkou o poloměru 50 m. Jaké má zrychlení? Zapíšeme si, co víme, a rychlost rovnou převedeme na metry za sekundu:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_d& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Dosadíme do vzorce:

$$a_d=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Oproti objezdu je zrychlení skoro poloviční, širší zatáčka je mírnější. Pozor ale na rychlost, ta je ve vzorci na druhou. Když auto vjede do téže zatáčky dvakrát rychleji, má čtyřikrát větší zrychlení, 18 m/s², a to už žádné auto na silnici nezvládne. Proto se brzdí před zatáčkou, a ne až v ní. Zrychlení 4,5 m/s² není vůbec k pohrdání, je to zhruba jako rázné brzdění. Jen míří do strany.

Země kolem Slunce

Země krouží kolem Slunce rychlostí asi 30 km/s, tedy 3 · 10⁴ m/s, ve vzdálenosti asi 1,5 · 10¹¹ m. Rychlost si můžeme ověřit: jeden oběh trvá rok, asi 3,16 · 10⁷ s, takže

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\doteq 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Dráha Země není přesně kružnice, ale je jí velmi blízko, takže můžeme dosadit do vzorce:

$$\begin{array}{rl}{a}_d& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

To je jen 0,006 m/s². Šipka rychlosti se každou sekundu změní o pouhých šest milimetrů za sekundu, na rychlosti třiceti kilometrů za sekundu nic. Za jednu sekundu uletí Země 30 km a od přímky se přitom odchýlí jen o $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Jenže rok má přes třicet milionů sekund, a tak se šipka rychlosti za rok otočí dokola a dráha Země se uzavře.

Proč pračka odstředí prádlo

Buben pračky s poloměrem 0,25 m se při ždímání na 1 200 ot/min točí úhlovou rychlostí 40π rad/s. Teď se hodí druhý tvar vzorce:

$$\begin{array}{rl}{a}_d& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\doteq 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radián je holé číslo, takže z jednotek zbudou metry za sekundu na druhou. Zrychlení je přes čtyřistakrát větší než tíhové zrychlení g, tedy přes 400g. Kdo by si to chtěl ověřit z rychlosti stěny bubnu 31,4 m/s a vzorce $\frac{v^2}{r}$, dostane totéž.

Úhlová rychlost je ve vzorci na druhou. Pračka, která ždímá jen na 800 ot/min, se točí třetinu pomaleji, ale zrychlení má víc než dvakrát menší: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, tedy asi 1 750 m/s². Proto vytáhnete z pomalého ždímání znatelně mokřejší prádlo.

Co z toho plyne pro prádlo? Aby kapka vody obíhala s bubnem, musí neustále zatáčet, a to s obrovským zrychlením. Ponožku na kružnici udrží stěna bubnu, ve stěně jsou ale dírky. Kapka, která se dostane nad dírku, už nic, co by ji stáčelo, nemá. Přestane zatáčet a pokračuje rovně po tečně, ven z bubnu. Ponožka zůstane uvnitř a voda je venku. Co přesně tělesa k zatáčení nutí, je otázka sil. Kinematika nám řekla, kolik zrychlení takové zatáčení potřebuje, a u pračky je to opravdu hodně.

Tím jsme popsali pohyb, ale ne jeho příčinu. Proč se tělesa rozjíždějí, brzdí a zatáčejí, vysvětlují síly a jimi začíná druhá část kategorie, článek Síla.