Middelpuntzoekende versnelling

Een auto rijdt over een rotonde en de naald van de snelheidsmeter beweegt niet. De bestuurder geeft geen gas en remt niet, en toch heeft de auto een versnelling. Versnelling meet namelijk niet hoe het getal op de snelheidsmeter verandert, maar hoe de hele snelheidspijl verandert. En die draait in een bocht. Bij een eenparige cirkelbeweging wijst de versnelling altijd naar het middelpunt van de cirkel, en daar heeft ze haar naam aan te danken: middelpuntzoekende versnelling.

Als je alleen de formule zoekt: een voorwerp dat met snelheid v langs een cirkel met straal r draait, heeft de middelpuntzoekende versnelling

$$a_{\mathrm{mpz}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

waarbij ω de hoeksnelheid is. Waarheen die versnelling wijst en waar die formule vandaan komt, laten we zien aan de hand van afbeeldingen.

De snelheidspijl draait voortdurend

Versnelling zegt hoe de snelheid per tijdseenheid verandert. Snelheid is echter een vector, een pijl, en die kan op twee manieren veranderen: hij wordt langer of korter, of hij draait. Bij beweging langs een rechte lijn wordt de pijl alleen langer en korter, wat overeenkomt met optrekken en remmen. Op een cirkel is het precies andersom. De lengte van de pijl verandert niet, omdat het voorwerp steeds even snel rijdt, maar de pijl wijst langs de raaklijn aan de cirkel en draait daarom met elk stukje boog een beetje mee. Ook het draaien van de pijl zelf is een verandering van de snelheid, en dus een versnelling.

Een veelgemaakte vergissing is te beweren dat een eenparige cirkelbeweging geen versnelling heeft, omdat de snelheid gelijk blijft. Gelijk blijft alleen haar grootte. Als de versnelling nul was, zou de snelheidspijl helemaal niet mogen veranderen, niet in lengte en niet in richting, en zou het voorwerp rechtdoor gaan. Draaien zonder versnelling bestaat niet.

De animatie toont een punt dat met constante snelheid over een cirkel draait. De rode snelheidspijl draait met het punt mee, de groene versnellingspijl wijst op elk moment naar het midden.

De groene pijl staat altijd loodrecht op de rode. De versnelling heeft daarom geen component in de rijrichting of ertegen in, en de grootte van de snelheid verandert dus niet. De hele versnelling gaat op aan het draaien van de pijl. Waarom ze juist naar het midden wijst en hoe groot ze is, laat de afbeelding zien.

Hoe groot is de middelpuntzoekende versnelling

We volgen het punt maar een korte tijd Δt. In die tijd verschuift het van plaats A naar plaats B en legt de volgende afstand af:

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

In de afbeelding zie je dit stukje beweging twee keer. Links zie je de blauwe driehoek van plaatsen: het middelpunt van de cirkel en de punten A en B. Twee van zijn zijden zijn stralen r, de derde is het lijnstuk AB. In een korte tijd is de boog bijna recht, dus het lijnstuk AB is praktisch Δs lang. Rechts vind je de groene driehoek van snelheden: beide snelheidspijlen uitgezet vanuit één punt en hun verschil $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, dat van de punt van ${\overrightarrow{v}}_1$ naar de punt van ${\overrightarrow{v}}_2$ loopt. Beide snelheidspijlen zijn v lang.

Voor de leesbaarheid is de hoek groot getekend, maar stel hem je gerust vrij klein voor. Wezenlijk is dat beide driehoeken bij het hoekpunt dezelfde hoek φ hebben. De snelheidspijl staat immers altijd loodrecht op de straal, dus als de straal over een hoek φ draait, draait de snelheidspijl over dezelfde hoek. Straal en pijl zitten aan elkaar vast als de benen van de letter L: draai je het ene been, dan draait de hele letter. Beide driehoeken zijn gelijkbenig met dezelfde hoek tussen de benen. Ze hebben daarom dezelfde vorm en verschillen alleen in grootte: ze zijn gelijkvormig. Bij gelijkvormige driehoeken is de verhouding van basis en been gelijk:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

In woorden: de groene pijl is zoveel keer korter dan de snelheidspijl als het lijnstuk AB korter is dan de straal. Voor Δs vullen we v · Δt in en we werken de vergelijking om:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

Aan de linkerkant staat de verandering van de snelheid per tijdseenheid, en dat is de versnelling:

$$a_{\mathrm{mpz}}=\frac{v^2}{r}$$

We hebben een beetje gesjoemeld, want het lijnstuk AB is een haar korter dan de boog. Hoe korter de tijd die we bekijken, hoe meer het lijnstuk met de boog samenvalt, en voor de momentane versnelling nemen we een tijd zo kort dat we het verschil niet merken. De formule geldt daarom exact.

De afbeelding verraadt ook de richting. De groene pijl $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ wijst omlaag, net als de verbinding van het midden van het lijnstuk AB met het middelpunt van de cirkel. Voor een kleine hoek staat hij bijna loodrecht op beide snelheidspijlen, en loodrecht op de raaklijn loopt de straal. De verandering van de snelheid, en daarmee de versnelling, wijst dus naar het middelpunt.

Ook de eenheden kloppen:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De formule gedraagt zich bovendien redelijk. Hoe sneller het voorwerp rijdt, hoe langer de snelheidspijl is en hoe sneller hij draait. Beide vergroten de versnelling, daarom staat in de formule de snelheid in het kwadraat. Met toenemende straal wordt de cirkel minder sterk gekromd en daalt de versnelling. Bij een enorme straal is een stuk cirkel bijna een rechte lijn en is de versnelling bijna nul, precies zoals het bij rechtdoor rijden met constante snelheid hoort.

De tweede vorm van de formule komt uit als we de snelheid vervangen door de uitdrukking v = ω · r:

$$a_{\mathrm{mpz}}=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Hier struikel je gemakkelijk. In de eerste vorm staat de straal in de noemer, in de tweede in de teller. Neemt de versnelling toe met de straal of af? Beide klopt, alleen blijft telkens iets anders onveranderd. Bij dezelfde snelheid is een ruimere bocht milder, de versnelling is kleiner. Bij dezelfde hoeksnelheid, bijvoorbeeld op een draaimolen, heeft het paardje aan de rand een grotere snelheid en daarmee een grotere versnelling dan het paardje bij het midden.

Een kwart van de rotonde

Terug naar de rotonde. De auto rijdt erover met een snelheid van 54 km/h, dus 15 m/s, en een kwart van de rotonde rijdt hij in 3 s. Uit de snelheidspijl aan het begin en aan het einde van het kwart komt een gemiddelde versnelling van ongeveer 7,1 m/s² naar het midden uit. Maar wat is de versnelling op elk moment?

We hebben de straal nodig. In 3 s legt de auto 15 m/s · 3 s = 45 m af en dat is een kwart van de omtrek van de cirkel:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Nu hoort dat in de formule. De straal laten we als breuk staan, zodat we het tussenresultaat niet afronden, en delen door een breuk is vermenigvuldigen met zijn omgekeerde:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{mpz}}& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

De momentane versnelling is 7,85 m/s², meer dan de gemiddelde 7,1 m/s². Dat is ongeveer evenveel als een auto aankan bij volle remming op droog asfalt, dus zo'n kleine rotonde is bij 54 km/h echt scherp. Hoe kan het dat de getallen verschillen, terwijl de versnelling de hele tijd even groot is? De gemiddelde versnelling gaat alleen uit van de eerste en de laatste snelheidspijl en hun verschil. Stel je alle snelheidspijlen van dat kwart van de rotonde voor, vanuit één punt getekend. Hun punten beschrijven een kwart van een cirkel met straal 15 m/s. De momentane versnelling geeft aan hoe snel de punt langs die boog vordert. De gemiddelde versnelling werkt alleen met de rechte verbinding van de eerste en de laatste punt, en die is korter dan de boog. Zo verschillen ook verplaatsing en afgelegde weg: in een rechte lijn is het altijd korter.

De getallen kunnen we controleren. De boog is een kwart van de omtrek van een cirkel met straal 15 m/s, dus $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. De verbinding van de punten is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 15 m/s, dus 21,2 m/s. Beide delen we door drie seconden:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Het eerste getal is de momentane versnelling uit de formule, het tweede de gemiddelde. Hoe korter het stuk van de rotonde, hoe meer de boog en de verbinding samenvallen en hoe dichter de gemiddelde versnelling de momentane benadert.

Auto in een bocht

Nu rijdt de auto met dezelfde 54 km/h door een ruimere bocht met straal 50 m. Welke versnelling heeft hij? We schrijven op wat we weten en rekenen de snelheid meteen om naar meter per seconde:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_{\mathrm{mpz}}& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

We vullen in de formule in:

$$a_{\mathrm{mpz}}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

In vergelijking met de rotonde is de versnelling bijna de helft, een ruimere bocht is milder. Maar pas op voor de snelheid, die staat in de formule in het kwadraat. Als de auto dezelfde bocht twee keer zo snel inrijdt, heeft hij een vier keer zo grote versnelling, 18 m/s², en dat redt geen enkele auto op de weg. Daarom remt men vóór de bocht en niet pas erin. Een versnelling van 4,5 m/s² is helemaal niet te versmaden, het is ongeveer zoveel als bij stevig remmen. Alleen wijst ze opzij.

De aarde om de zon

De aarde draait met een snelheid van ongeveer 30 km/s, dus 3 · 10⁴ m/s, op een afstand van ongeveer 1,5 · 10¹¹ m om de zon. De snelheid kunnen we controleren: één omloop duurt een jaar, ongeveer 3,16 · 10⁷ s, dus

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

De baan van de aarde is niet precies een cirkel, maar zit er heel dicht bij, dus we kunnen in de formule invullen:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{mpz}}& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Dat is maar 0,006 m/s². De snelheidspijl verandert elke seconde met slechts zes millimeter per seconde, bij een snelheid van dertig kilometer per seconde is dat niets. In één seconde legt de aarde 30 km af en wijkt daarbij maar $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$ af van de rechte lijn. Maar een jaar heeft meer dan dertig miljoen seconden, en zo draait de snelheidspijl in een jaar helemaal rond en sluit de baan van de aarde zich.

Waarom de wasmachine de was droogslingert

De trommel van een wasmachine met straal 0,25 m draait bij het centrifugeren op 1200 omw/min met een hoeksnelheid van 40π rad/s. Nu komt de tweede vorm van de formule van pas:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{mpz}}& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

De radiaal is een kaal getal, dus van de eenheden blijft meter per seconde in het kwadraat over. De versnelling is meer dan vierhonderd keer zo groot als de valversnelling g, dus meer dan 400g. Wie het zou willen controleren met de snelheid van de trommelwand, 31,4 m/s, en de formule $\frac{v^2}{r}$, krijgt hetzelfde.

De hoeksnelheid staat in de formule in het kwadraat. Een wasmachine die maar op 800 omw/min centrifugeert, draait een derde langzamer, maar heeft een meer dan twee keer zo kleine versnelling: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, dus ongeveer 1750 m/s². Daarom haal je uit een langzame centrifuge merkbaar natter wasgoed.

Wat betekent dat voor de was? Een waterdruppel moet, om met de trommel mee te draaien, voortdurend van richting veranderen, en dat met een enorme versnelling. Een sok op de cirkel wordt vastgehouden door de wand van de trommel, maar in de wand zitten gaatjes. Een druppel die boven een gaatje komt, heeft niets meer dat hem van richting doet veranderen. Hij buigt niet meer af en gaat rechtdoor langs de raaklijn, de trommel uit. De sok blijft binnen en het water is buiten. Wat voorwerpen precies dwingt een bocht te maken, is een kwestie van krachten. De kinematica heeft ons verteld hoeveel versnelling zo'n bocht nodig heeft, en bij de wasmachine is dat echt veel.

Daarmee hebben we de beweging beschreven, maar niet de oorzaak ervan. Waarom voorwerpen optrekken, remmen en draaien, verklaren krachten, en daarmee begint het tweede deel van de categorie, het artikel Kracht.