Aceleración centrípeta

Un coche toma una rotonda y la aguja del velocímetro no se mueve lo más mínimo. El conductor ni acelera ni frena y, aun así, el coche tiene aceleración. La aceleración, en efecto, no mide cómo cambia el número del velocímetro, sino cómo cambia toda la flecha de la velocidad. Y esa, en una curva, gira. En el movimiento circular uniforme la aceleración apunta siempre hacia el centro de la circunferencia, y de ahí le viene el nombre de aceleración centrípeta.

Si solo buscas la fórmula: un cuerpo que gira con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración centrípeta

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

donde ω es la velocidad angular. Hacia dónde apunta esa aceleración y de dónde sale la fórmula lo mostraremos en las figuras.

La flecha de la velocidad gira sin parar

La aceleración dice cómo cambia la velocidad en la unidad de tiempo. Pero la velocidad es un vector, una flecha, y esta puede cambiar de dos maneras: puede alargarse o acortarse, o bien girar. En un movimiento por una recta la flecha solo se alarga y se acorta, lo que corresponde a arrancar y frenar. En la circunferencia ocurre justo lo contrario. La longitud de la flecha no cambia, porque el cuerpo va siempre igual de rápido, pero la flecha es tangente a la circunferencia y, con cada trocito de arco, gira un poco. Incluso el simple giro de la flecha es un cambio de la velocidad y, por tanto, una aceleración.

Un error frecuente es afirmar que el movimiento circular uniforme no tiene aceleración porque la velocidad se mantiene igual. Solo se mantiene igual su módulo. Si la aceleración fuera nula, la flecha de la velocidad no podría cambiar en absoluto, ni de longitud ni de dirección, y el cuerpo iría en línea recta. Girar sin aceleración no se puede.

La animación muestra un punto que gira en una circunferencia con velocidad constante. La flecha roja de la velocidad gira con él y la flecha verde de la aceleración apunta en cada instante hacia el centro.

La flecha verde es siempre perpendicular a la roja. La aceleración no tiene, por tanto, ninguna componente en el sentido de la marcha ni en el contrario, y el módulo de la velocidad no cambia. Toda la aceleración se emplea en girar la flecha. Por qué apunta justo al centro y cuánto vale lo revela la figura.

Cuánto vale la aceleración centrípeta

Observemos el punto solo durante un instante corto Δt. En ese tiempo se desplaza del lugar A al lugar B y recorre una distancia

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

En la figura, este trocito de movimiento aparece dos veces. A la izquierda ves el triángulo azul de posiciones: el centro de la circunferencia y los puntos A y B. Dos de sus lados son radios r, el tercero es el segmento AB. En un instante corto el arco es casi recto, así que el segmento AB mide prácticamente Δs. A la derecha encontrarás el triángulo verde de velocidades: las dos flechas de la velocidad trazadas desde un mismo punto y su diferencia $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, que va de la punta de ${\overrightarrow{v}}_1$ a la punta de ${\overrightarrow{v}}_2$. Las dos flechas de la velocidad miden v.

Para que se vea con claridad, el ángulo está dibujado grande, pero tú imagínalo bastante pequeño. Lo esencial es que los dos triángulos tienen en el vértice el mismo ángulo φ. La flecha de la velocidad es siempre perpendicular al radio, así que cuando el radio gira un ángulo φ, la flecha de la velocidad gira el mismo ángulo. El radio y la flecha están unidos como los brazos de la letra L: si giras un brazo, gira toda la letra. Los dos triángulos son isósceles con el mismo ángulo entre los lados iguales. Por eso tienen la misma forma y solo se diferencian en el tamaño: son semejantes. En triángulos semejantes la razón entre la base y el lado igual es la misma:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

En palabras: la flecha verde es tantas veces más corta que la flecha de la velocidad como veces es el segmento AB más corto que el radio. En lugar de Δs sustituimos v · Δt y transformamos la ecuación:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

En el primer miembro está el cambio de velocidad por unidad de tiempo, que es la aceleración:

$$a_c=\frac{v^2}{r}$$

Hemos hecho un poco de trampa, porque el segmento AB es un pelín más corto que el arco. Pero cuanto más corto es el instante que observamos, más coinciden el segmento y el arco, y para la aceleración instantánea tomamos un instante tan corto que no notamos la diferencia. La fórmula es, por tanto, exacta.

La figura revela también la dirección. La flecha verde $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ apunta hacia abajo, igual que la recta que une el punto medio del segmento AB con el centro de la circunferencia. Para un ángulo pequeño es casi perpendicular a las dos flechas de la velocidad, y perpendicular a la tangente es el radio. El cambio de velocidad, y con él la aceleración, apunta así al centro.

También cuadran las unidades:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Además, la fórmula se comporta de forma razonable. Cuanto más deprisa va el cuerpo, más larga es la flecha de la velocidad y más rápido gira. Ambas cosas aumentan la aceleración, por eso la velocidad está al cuadrado en la fórmula. Al aumentar el radio, la circunferencia se endereza y la aceleración disminuye. Con un radio enorme, un trozo de circunferencia es casi una recta y la aceleración es casi nula, justo como corresponde a ir recto con velocidad constante.

La segunda forma de la fórmula sale cuando sustituimos la velocidad por la expresión v = ω · r:

$$a_c=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Aquí es fácil tropezar. En la primera forma el radio está en el denominador, en la segunda, en el numerador. ¿La aceleración crece con el radio o disminuye? Valen las dos cosas, solo que cada vez permanece constante algo distinto. Con la misma velocidad, una curva más amplia es más suave y la aceleración es menor. Con la misma velocidad angular, por ejemplo en un tiovivo, el caballito del borde tiene mayor velocidad y, por tanto, mayor aceleración que el caballito cercano al centro.

Un cuarto de rotonda

Volvamos a la rotonda. El coche la recorre a 54 km/h, es decir, 15 m/s, y tarda 3 s en recorrer un cuarto de rotonda. A partir de la flecha de la velocidad al principio y al final de ese cuarto sale una aceleración media de unos 7,1 m/s² hacia el centro. Pero ¿cuál es la aceleración en cada instante?

Necesitamos el radio. En 3 s el coche recorre 15 m/s · 3 s = 45 m y eso es un cuarto de la longitud de la circunferencia:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Ahora toca sustituir en la fórmula. El radio lo dejamos como fracción para no redondear en el resultado intermedio, y dividir entre una fracción es multiplicar por su inversa:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

La aceleración instantánea es de 7,85 m/s², más que los 7,1 m/s² de la media. Es más o menos lo que consigue un coche en una frenada a fondo sobre asfalto seco, así que una rotonda tan pequeña es de verdad muy cerrada para 54 km/h. ¿Cómo es que los números difieren si la aceleración tiene todo el rato el mismo módulo? La aceleración media sale solo de la primera y la última flecha de la velocidad y de su diferencia. Imagina todas las flechas de la velocidad de ese cuarto de rotonda trazadas desde un mismo punto. Sus puntas describirán un cuarto de una circunferencia de radio 15 m/s. La aceleración instantánea indica con qué rapidez avanza la punta por este arco. La aceleración media trabaja solo con la recta que une la primera y la última punta, y esa es más corta que el arco. Lo mismo pasa con el desplazamiento y la distancia recorrida: en línea recta siempre es menos.

Los números podemos comprobarlos. El arco es un cuarto de la longitud de una circunferencia de radio 15 m/s, es decir, $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La recta que une las puntas es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 15 m/s, o sea, 21,2 m/s. Dividimos ambos entre tres segundos:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

El primer número es la aceleración instantánea de la fórmula, el segundo, la media. Cuanto más corto es el tramo de rotonda, más coinciden el arco y la recta, y la aceleración media se acerca a la instantánea.

Un coche en una curva

Ahora el coche va a los mismos 54 km/h por una curva más amplia, de radio 50 m. ¿Qué aceleración tiene? Anotamos lo que sabemos y convertimos directamente la velocidad a metros por segundo:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_c& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Sustituimos en la fórmula:

$$a_c=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Frente a la rotonda, la aceleración es casi la mitad: una curva más amplia es más suave. Pero ojo con la velocidad, que en la fórmula va al cuadrado. Si el coche entra en la misma curva al doble de velocidad, tiene una aceleración cuatro veces mayor, 18 m/s², y eso no lo aguanta ningún coche en carretera. Por eso se frena antes de la curva y no dentro de ella. Una aceleración de 4,5 m/s² no es nada despreciable, es más o menos como una frenada enérgica. Solo que apunta hacia un lado.

La Tierra alrededor del Sol

La Tierra gira alrededor del Sol a unos 30 km/s, es decir, 3 · 10⁴ m/s, a una distancia de unos 1,5 · 10¹¹ m. La velocidad podemos comprobarla: una vuelta dura un año, unos 3,16 · 10⁷ s, de modo que

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

La órbita de la Tierra no es exactamente una circunferencia, pero se le parece mucho, así que podemos sustituir en la fórmula:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Son solo 0,006 m/s². La flecha de la velocidad cambia cada segundo en apenas seis milímetros por segundo, que sobre una velocidad de treinta kilómetros por segundo no es nada. En un segundo la Tierra avanza 30 km y se desvía de la recta solo $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Pero un año tiene más de treinta millones de segundos, y por eso la flecha de la velocidad da en un año toda la vuelta y la órbita de la Tierra se cierra.

Por qué la lavadora centrifuga la ropa

El tambor de una lavadora, de radio 0,25 m, gira durante el centrifugado a 1200 rev/min con una velocidad angular de 40π rad/s. Ahora viene bien la segunda forma de la fórmula:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

El radián es un número a secas, así que de las unidades quedan metros por segundo al cuadrado. La aceleración es más de cuatrocientas veces mayor que la aceleración de la gravedad g, es decir, más de 400g. Quien quiera comprobarlo a partir de la velocidad de la pared del tambor, 31,4 m/s, y de la fórmula $\frac{v^2}{r}$, obtendrá lo mismo.

La velocidad angular está al cuadrado en la fórmula. Una lavadora que centrifuga solo a 800 rev/min gira un tercio más despacio, pero su aceleración se queda en menos de la mitad: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, es decir, unos 1750 m/s². Por eso con el centrifugado lento sacas la ropa notablemente más mojada.

¿Qué se sigue de ello para la ropa? Para que una gota de agua dé vueltas con el tambor, tiene que estar cambiando de dirección sin parar, y con una aceleración enorme. Al calcetín lo mantiene en la circunferencia la pared del tambor, pero en la pared hay agujeritos. La gota que llega a un agujero ya no tiene nada que la desvíe. Deja de girar y sigue recto por la tangente, hacia fuera del tambor. El calcetín se queda dentro y el agua, fuera. Qué obliga exactamente a los cuerpos a girar es una cuestión de fuerzas. La cinemática nos ha dicho cuánta aceleración necesita ese giro, y en la lavadora es de verdad mucha.

Con esto hemos descrito el movimiento, pero no su causa. Por qué los cuerpos arrancan, frenan y giran lo explican las fuerzas, y con ellas empieza la segunda parte de la categoría, el artículo Fuerza.