Keskeiskiihtyvyys

Auto ajaa liikenneympyrän läpi eikä nopeusmittarin neula liikahda. Kuljettaja ei kaasuta eikä jarruta, ja silti autolla on kiihtyvyys. Kiihtyvyys ei nimittäin mittaa sitä, miten nopeusmittarin luku muuttuu, vaan sitä, miten koko nopeusnuoli muuttuu. Ja se kääntyy kaarteessa. Tasaisessa ympyräliikkeessä kiihtyvyys osoittaa aina ympyrän keskipisteeseen, ja siitä se on saanut nimensä, keskeiskiihtyvyys.

Jos haluat vain kaavan: kun kappale kiertää nopeudella v ympyrää, jonka säde on r, sen keskeiskiihtyvyys on

$$a_n=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

missä ω on kulmanopeus. Minne kiihtyvyys osoittaa ja mistä kaava tulee, näytetään kuvien avulla.

Nopeusnuoli kääntyy koko ajan

Kiihtyvyys kertoo, miten nopeus muuttuu aikayksikössä. Nopeus on kuitenkin vektori, nuoli, ja se voi muuttua kahdella tavalla: se pitenee tai lyhenee tai se kääntyy. Suoralla ajettaessa nuoli vain venyy ja lyhenee, mikä vastaa liikkeelle lähtöä ja jarrutusta. Ympyrällä pätee täsmälleen päinvastoin. Nuolen pituus ei muutu, koska kappale kulkee koko ajan yhtä nopeasti, mutta nuoli osoittaa ympyrän tangentin suuntaan, ja kaaren jokaisella palalla se kääntyy vähän. Nuolen kääntyminenkin on nopeuden muutos, ja siis kiihtyvyyttä.

Yleinen erehdys on väittää, ettei tasaisessa ympyräliikkeessä ole kiihtyvyyttä, koska nopeus pysyy samana. Sama on vain sen suuruus. Jos kiihtyvyys olisi nolla, nopeusnuoli ei saisi muuttua lainkaan, ei pituudeltaan eikä suunnaltaan, ja kappale kulkisi suoraan. Ilman kiihtyvyyttä ei voi kaartaa.

Animaatiossa piste kiertää ympyrää vakionopeudella. Punainen nopeusnuoli kääntyy sen mukana, vihreä kiihtyvyysnuoli osoittaa joka hetki keskipisteeseen.

Vihreä nuoli on aina kohtisuorassa punaista vastaan. Kiihtyvyydellä ei siksi ole mitään komponenttia kulkusuunnassa eikä sitä vastaan, ja nopeuden suuruus ei muutu. Koko kiihtyvyys kuluu nuolen kääntämiseen. Miksi se osoittaa juuri keskipisteeseen ja kuinka suuri se on, paljastaa kuva.

Kuinka suuri keskeiskiihtyvyys on

Tarkkaillaan pistettä vain lyhyen hetken Δt. Sinä aikana se siirtyy paikasta A paikkaan B ja kulkee matkan

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Kuvassa tämä liikkeen pala on kahdesti. Vasemmalla näet sinisen paikkakolmion: ympyrän keskipiste ja pisteet A ja B. Kaksi sen sivua on säteitä r, kolmas on jana AB. Lyhyessä hetkessä kaari on lähes suora, joten jana AB on käytännössä Δs:n pituinen. Oikealta löydät vihreän nopeuskolmion: molemmat nopeusnuolet samasta pisteestä ja niiden erotus $\mathrm{\Delta }\overline{v}$, joka kulkee vektorin ${\overline{v}}_1$ kärjestä vektorin ${\overline{v}}_2$ kärkeen. Molemmat nopeusnuolet ovat v:n pituisia.

Luettavuuden vuoksi kulma on piirretty suureksi, mutta kuvittele se aivan pieneksi. Olennaista on, että molemmilla kolmioilla on kärjessä sama kulma φ. Nopeusnuoli on nimittäin aina kohtisuorassa sädettä vastaan, joten kun säde kiertyy kulman φ, kiertyy nopeusnuolikin saman kulman. Säde ja nuoli ovat yhteydessä kuin L-kirjaimen sakarat: jos käännät toista sakaraa, koko kirjain kääntyy. Molemmat kolmiot ovat tasakylkisiä ja kylkien välinen kulma on sama. Siksi niillä on sama muoto ja ne eroavat vain koossa: ne ovat yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisissa kolmioissa kannan ja kyljen suhde on sama:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Sanoin: vihreä nuoli on niin monta kertaa lyhyempi kuin nopeusnuoli kuin jana AB on lyhyempi kuin säde. Δs:n tilalle sijoitetaan v · Δt, ja yhtälöä muokataan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

Vasemmalla puolella on nopeuden muutos aikayksikössä, eli kiihtyvyys:

$$a_n=\frac{v^2}{r}$$

Tässä vähän huijattiin, koska jana AB on hiuksenhienosti lyhyempi kuin kaari. Mitä lyhyempää hetkeä tarkkaillaan, sitä paremmin jana ja kaari yhtyvät, ja hetkelliselle kiihtyvyydelle otetaan niin lyhyt hetki, ettei eroa huomaa. Kaava pätee siksi tarkasti.

Kuva paljastaa myös suunnan. Vihreä nuoli $\mathrm{\Delta }\overline{v}$ osoittaa alas, kuten janan AB keskipisteen ja ympyrän keskipisteen yhdysjana. Pienellä kulmalla se on lähes kohtisuorassa molempia nopeusnuolia vastaan, ja tangenttia vastaan kohtisuoraan kulkee säde. Nopeuden muutos, ja sen mukana kiihtyvyys, osoittaa siksi keskipisteeseen.

Myös yksiköt täsmäävät:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kaava käyttäytyy lisäksi järkevästi. Mitä nopeammin kappale kulkee, sitä pidempi on nopeusnuoli ja sitä nopeammin se kääntyy. Kumpikin kasvattaa kiihtyvyyttä, siksi kaavassa on nopeus toiseen potenssiin. Säteen kasvaessa ympyrä suoristuu ja kiihtyvyys pienenee. Valtavalla säteellä ympyrän pala on lähes suora ja kiihtyvyys lähes nolla, aivan kuten vakionopeudella suoraan ajettaessa kuuluu olla.

Kaavan toinen muoto saadaan, kun nopeuden tilalle sijoitetaan lauseke v = ω · r:

$$a_n=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Tässä on helppo kompastua. Ensimmäisessä muodossa säde on nimittäjässä, toisessa osoittajassa. Kasvaako kiihtyvyys säteen mukana vai pieneneekö se? Molemmat pätevät, vain joka kerta jokin muu pysyy muuttumattomana. Samalla nopeudella leveämpi kaarre on loivempi, kiihtyvyys on pienempi. Samalla kulmanopeudella, vaikka karusellilla, reunan hevosella on suurempi nopeus ja siksi myös suurempi kiihtyvyys kuin keskuksen lähellä olevalla.

Neljännes liikenneympyrästä

Palataan liikenneympyrään. Auto ajaa sitä nopeudella 54 km/h, eli 15 m/s, ja neljänneksen ympyrästä se ajaa ajassa 3 s. Neljänneksen alun ja lopun nopeusnuolista saadaan keskikiihtyvyydeksi noin 7,1 m/s² keskipisteeseen päin. Mutta mikä on kiihtyvyys jokaisella hetkellä?

Tarvitaan säde. Ajassa 3 s auto kulkee 15 m/s · 3 s = 45 m ja se on neljännes ympyrän kehästä:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Nyt se kuuluu kaavaan. Säde jätetään murtoluvuksi, jotta välitulosta ei pyöristetä, ja murtoluvulla jakaminen on sen käänteisluvulla kertomista:

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Hetkellinen kiihtyvyys on 7,85 m/s², enemmän kuin keskimääräinen 7,1 m/s². Se on suunnilleen yhtä paljon kuin auto selviää täydessä jarrutuksessa kuivalla asfaltilla, joten näin pieni liikenneympyrä on nopeudelle 54 km/h todella jyrkkä. Miten luvut voivat poiketa toisistaan, kun kiihtyvyys on koko ajan yhtä suuri? Keskikiihtyvyys perustuu vain ensimmäiseen ja viimeiseen nopeusnuoleen ja niiden erotukseen. Kuvittele kaikki neljänneksen nopeusnuolet piirrettynä samasta pisteestä. Niiden kärjet piirtävät neljänneksen ympyrästä, jonka säde on 15 m/s. Hetkellinen kiihtyvyys kertoo, kuinka nopeasti kärki etenee tätä kaarta pitkin. Keskikiihtyvyys käyttää vain ensimmäisen ja viimeisen kärjen suoraa yhdysjanaa, ja se on kaarta lyhyempi. Samoin eroavat siirtymä ja matka: suoraa pitkin on aina lähempänä.

Luvut voi tarkistaa. Kaari on neljännes ympyrän kehästä, jonka säde on 15 m/s, eli $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Kärkien yhdysjana on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, jonka kateetit ovat 15 m/s, eli 21,2 m/s. Jaetaan kumpikin kolmella sekunnilla:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ensimmäinen luku on kaavasta saatu hetkellinen kiihtyvyys, toinen keskikiihtyvyys. Mitä lyhyempi liikenneympyrän osuus, sitä paremmin kaari ja yhdysjana yhtyvät ja keskikiihtyvyys lähestyy hetkellistä.

Auto kaarteessa

Nyt auto ajaa samaa 54 km/h leveämmässä kaarteessa, jonka säde on 50 m. Mikä on sen kiihtyvyys? Kirjoitetaan, mitä tiedetään, ja muunnetaan nopeus heti metreiksi sekunnissa:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_n& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Sijoitetaan kaavaan:

$$a_n=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Liikenneympyrään verrattuna kiihtyvyys on lähes puolta pienempi, leveämpi kaarre on loivempi. Varo kuitenkin nopeutta, se on kaavassa toisessa potenssissa. Kun auto ajaa samaan kaarteeseen kaksi kertaa nopeammin, sen kiihtyvyys on nelinkertainen, 18 m/s², eikä mikään tiellä kulkeva auto selviä siitä. Siksi jarrutetaan ennen kaarretta eikä vasta sen aikana. Kiihtyvyys 4,5 m/s² ei ole ollenkaan vähättelemisen arvoinen, se on suunnilleen kuin reipas jarrutus. Se vain osoittaa sivulle.

Maa Auringon ympäri

Maa kiertää Aurinkoa nopeudella noin 30 km/s, eli 3 · 10⁴ m/s, noin 1,5 · 10¹¹ m etäisyydellä. Nopeuden voi tarkistaa: yksi kierros kestää vuoden, noin 3,16 · 10⁷ s, joten

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Maan rata ei ole täsmälleen ympyrä, mutta se on sille hyvin lähellä, joten se voidaan sijoittaa kaavaan:

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Se on vain 0,006 m/s². Nopeusnuoli muuttuu joka sekunti vain kuusi millimetriä sekunnissa, mikä on kolmenkymmenen kilometrin sekuntinopeuteen verrattuna mitätön määrä. Sekunnissa Maa lentää 30 km ja poikkeaa suorasta vain $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Mutta vuodessa on yli kolmekymmentä miljoonaa sekuntia, ja siksi nopeusnuoli kääntyy vuodessa ympäri ja Maan rata sulkeutuu.

Miksi pesukone linkoaa pyykin

Pesukoneen rummun säde on 0,25 m, ja kun se linkoaa nopeudella 1 200 r/min, sen kulmanopeus on 40π rad/s. Nyt kaavan toinen muoto tulee tarpeeseen:

$$\begin{array}{rl}{a}_n& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radiaani on pelkkä luku, joten yksiköistä jäävät metrit sekunnin neliötä kohti. Kiihtyvyys on yli nelisataa kertaa suurempi kuin putoamiskiihtyvyys g, eli yli 400g. Joka haluaa tarkistaa sen rummun seinän nopeudesta 31,4 m/s ja kaavasta $\frac{v^2}{r}$, saa saman.

Kulmanopeus on kaavassa toisessa potenssissa. Pesukone, joka linkoaa vain nopeudella 800 r/min, pyörii kolmanneksen hitaammin, mutta sen kiihtyvyys on yli kaksi kertaa pienempi: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, eli noin 1 750 m/s². Siksi hitaasta linkouksesta saat selvästi märemmän pyykin.

Mitä siitä seuraa pyykille? Jotta vesipisara kiertäisi rummun mukana, sen täytyy koko ajan kaartaa, ja valtavalla kiihtyvyydellä. Sukan pitää ympyrällä rummun seinä, mutta seinässä on reikiä. Pisara, joka osuu reiän kohdalle, ei enää kohtaa mitään, mikä sitä kääntäisi. Se lakkaa kaartamasta ja jatkaa suoraan tangenttia pitkin ulos rummusta. Sukka jää sisään ja vesi ulos. Mikä kappaleet tarkalleen pakottaa kaartamaan, on voimien kysymys. Kinematiikka kertoi, kuinka paljon kiihtyvyyttä tällainen kaartaminen vaatii, ja pesukoneella se on todella paljon.

Näin on kuvattu liike mutta ei sen syytä. Miksi kappaleet lähtevät liikkeelle, jarruttavat ja kaartavat, selittävät voimat, ja niistä alkaa kategorian toinen osa, artikkeli Voima.