Sentripetalakselerasjon

En bil kjører gjennom en rundkjøring, og viseren på fartsmåleren rører seg ikke. Sjåføren verken gir gass eller bremser, og likevel har bilen akselerasjon. Akselerasjon måler nemlig ikke hvordan tallet på fartsmåleren endrer seg, men hvordan hele hastighetspilen endrer seg. Og den dreier seg i en sving. Ved jevn sirkelbevegelse peker akselerasjonen alltid mot sentrum av sirkelen, og derav har den fått navnet sentripetalakselerasjon.

Hvis du bare leter etter formelen: et legeme som går rundt med farten v på en sirkel med radius r, har sentripetalakselerasjonen

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

der ω er vinkelhastigheten. Hvor akselerasjonen peker og hvor formelen kommer fra, viser vi på bildene.

Hastighetspilen dreier hele tiden

Akselerasjon sier hvor fort hastigheten endrer seg per tidsenhet. Men hastighet er en vektor, en pil, og den kan endre seg på to måter: den blir lengre eller kortere, eller den dreies. Ved kjøring langs en rett linje blir pilen bare strukket og forkortet, noe som svarer til å sette i gang og bremse. På en sirkel er det helt omvendt. Lengden av pilen endrer seg ikke, fordi legemet går like fort hele tiden, men pilen peker langs tangenten til sirkelen, og dreies derfor litt for hvert stykke av buen. Også selve dreiingen av pilen er en endring av hastigheten, og altså akselerasjon.

En vanlig misforståelse er at jevn sirkelbevegelse ikke har akselerasjon, fordi farten er den samme. Det er bare størrelsen som er den samme. Hvis akselerasjonen var null, måtte hastighetspilen ikke endre seg i det hele tatt, verken i lengde eller retning, og legemet ville gått rett fram. Å svinge uten akselerasjon går ikke.

Animasjonen viser et punkt som går rundt langs en sirkel med konstant fart. Den røde hastighetspilen dreier seg med det, og den grønne akselerasjonspilen peker i hvert øyeblikk mot sentrum.

Den grønne pilen står alltid vinkelrett på den røde. Akselerasjonen har derfor ingen komponent i eller mot kjøreretningen, og størrelsen av farten endrer seg ikke. All akselerasjonen går med til å dreie pilen. Hvorfor den peker akkurat mot sentrum og hvor stor den er, avslører bildet.

Hvor stor er sentripetalakselerasjonen

Vi følger punktet bare en kort stund Δt. I løpet av den tiden flytter det seg fra stedet A til stedet B og tilbakelegger strekningen

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

På bildet er dette lille stykket av bevegelsen tegnet to ganger. Til venstre ser du den blå trekanten av posisjoner: sentrum av sirkelen og punktene A og B. To av sidene er radiene r, den tredje er linjestykket AB. I løpet av en kort stund er buen nesten rett, så linjestykket AB er praktisk talt like langt som Δs. Til høyre finner du den grønne trekanten av hastigheter: begge hastighetspilene tegnet fra ett punkt og differansen deres $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, som går fra spissen av ${\overrightarrow{v}}_1$ til spissen av ${\overrightarrow{v}}_2$. Begge hastighetspilene er v lange.

For å gjøre det lett å lese er vinkelen tegnet stor, men du kan se for deg at den er ganske liten. Det viktige er at begge trekantene har den samme vinkelen φ i toppunktet. Hastighetspilen står nemlig alltid vinkelrett på radien, så når radien dreies vinkelen φ, dreies hastighetspilen den samme vinkelen. Radien og pilen henger sammen som beina i bokstaven L: dreier du det ene beinet, dreier hele bokstaven seg. Begge trekantene er likebeinte med samme vinkel mellom beina. De har derfor samme form og skiller seg bare i størrelse: de er formlike. I formlike trekanter er forholdet mellom grunnlinjen og beinet det samme:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Med ord: den grønne pilen er like mange ganger kortere enn hastighetspilen som linjestykket AB er kortere enn radien. For Δs setter vi inn v · Δt og omformer likningen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

På venstre side står endringen i fart per tidsenhet, og det er akselerasjonen:

$$a_c=\frac{v^2}{r}$$

Vi har jukset litt, for linjestykket AB er en anelse kortere enn buen. Men jo kortere stund vi følger bevegelsen, desto mer faller linjestykket sammen med buen, og for momentanakselerasjonen tar vi en så kort stund at vi ikke ser forskjell. Formelen gjelder derfor nøyaktig.

Bildet røper også retningen. Den grønne pilen $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ peker nedover, som forbindelseslinjen fra midten av linjestykket AB til sentrum av sirkelen. For en liten vinkel står den nesten vinkelrett på begge hastighetspilene, og vinkelrett på tangenten går radien. Endringen i hastighet, og med den akselerasjonen, peker derfor mot sentrum.

Også enhetene stemmer:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Formelen oppfører seg dessuten fornuftig. Jo fortere legemet går, desto lengre er hastighetspilen og desto raskere dreier den seg. Begge deler øker akselerasjonen, derfor står farten i andre i formelen. Når radien vokser, rettes sirkelen ut og akselerasjonen synker. Ved en enorm radius er et stykke av sirkelen nesten en rett linje og akselerasjonen nesten null, akkurat som det skal være ved kjøring rett fram med konstant fart.

Den andre formen av formelen får vi når vi erstatter farten med uttrykket v = ω · r:

$$a_c=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Her snubler man lett. I den første formen står radien i nevneren, i den andre i telleren. Øker akselerasjonen med radien, eller synker den? Begge deler stemmer, bare at det hver gang er noe annet som holdes uendret. Ved samme fart er en videre sving mildere, akselerasjonen er mindre. Ved samme vinkelhastighet, for eksempel på en karusell, har hesten ved kanten større fart og dermed større akselerasjon enn hesten ved sentrum.

En fjerdedel av rundkjøringen

Vi går tilbake til rundkjøringen. Bilen kjører rundt med farten 54 km/h, altså 15 m/s, og kjører en fjerdedel av rundkjøringen på 3 s. Fra hastighetspilen i begynnelsen og på slutten av fjerdedelen får vi en gjennomsnittsakselerasjon på omtrent 7,1 m/s² mot sentrum. Men hva er akselerasjonen i hvert øyeblikk?

Vi trenger radien. På 3 s kjører bilen 15 m/s · 3 s = 45 m, og det er en fjerdedel av omkretsen av sirkelen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Nå skal det inn i formelen. Radien lar vi stå som brøk, så vi ikke runder av i mellomresultatet, og å dele på en brøk er å multiplisere med den omvendte verdien:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Momentanakselerasjonen er 7,85 m/s², mer enn gjennomsnittet 7,1 m/s². Det er omtrent like mye som bilen klarer ved full bremsing på tørr asfalt, så en så liten rundkjøring er virkelig skarp ved 54 km/h. Hvordan kan tallene være ulike når akselerasjonen er like stor hele tiden? Gjennomsnittsakselerasjonen bygger bare på den første og den siste hastighetspilen og på differansen mellom dem. Se for deg alle hastighetspilene fra fjerdedelen av rundkjøringen tegnet fra ett punkt. Spissene deres beskriver en fjerdedel av en sirkel med radius 15 m/s. Momentanakselerasjonen sier hvor fort spissen beveger seg langs denne buen. Gjennomsnittsakselerasjonen bruker bare den rette forbindelseslinjen mellom den første og den siste spissen, og den er kortere enn buen. På samme måte skiller forflytning og strekning seg: langs en rett linje er det alltid nærmere.

Tallene kan vi kontrollere. Buen er en fjerdedel av omkretsen av en sirkel med radius 15 m/s, altså $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Forbindelseslinjen mellom spissene er hypotenusen i en rettvinklet trekant med katetene 15 m/s, altså 21,2 m/s. Begge deler deler vi på tre sekunder:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Det første tallet er momentanakselerasjonen fra formelen, det andre gjennomsnittsakselerasjonen. Jo kortere stykke av rundkjøringen, desto mer faller buen og forbindelseslinjen sammen, og gjennomsnittsakselerasjonen nærmer seg momentanakselerasjonen.

Bil i en sving

Nå kjører bilen med de samme 54 km/h gjennom en videre sving med radius 50 m. Hvilken akselerasjon har den? Vi skriver opp det vi vet, og regner farten med en gang om til meter per sekund:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_c& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Vi setter inn i formelen:

$$a_c=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Sammenlignet med rundkjøringen er akselerasjonen nesten halvert, en videre sving er mildere. Pass imidlertid på farten, den står i andre i formelen. Når bilen kjører inn i den samme svingen dobbelt så fort, har den fire ganger så stor akselerasjon, 18 m/s², og det klarer ingen bil på veien. Derfor bremser man før svingen og ikke først i den. Akselerasjonen 4,5 m/s² er ikke å forakte, den er omtrent som ved kraftig bremsing. Den peker bare til siden.

Jorda rundt Solen

Jorda går rundt Solen med farten omtrent 30 km/s, altså 3 · 10⁴ m/s, i en avstand på omtrent 1,5 · 10¹¹ m. Farten kan vi kontrollere: én runde tar et år, omtrent 3,16 · 10⁷ s, så

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Banen til Jorda er ikke nøyaktig en sirkel, men den er svært nær, så vi kan sette inn i formelen:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Det er bare 0,006 m/s². Hastighetspilen endrer seg hvert sekund med bare seks millimeter i sekundet, ingenting sammenlignet med en fart på tretti kilometer i sekundet. På ett sekund flyr Jorda 30 km og avviker bare $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$ fra den rette linjen. Men et år har over tretti millioner sekunder, og derfor dreier hastighetspilen seg rundt i løpet av et år og banen til Jorda lukkes.

Hvorfor vaskemaskinen sentrifugerer klesvasken

Trommelen i en vaskemaskin med radius 0,25 m dreier seg ved sentrifugering på 1200 omdr/min med vinkelhastigheten 40π rad/s. Nå kommer den andre formen av formelen til nytte:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radian er et bart tall, så av enhetene blir meter per sekund i andre igjen. Akselerasjonen er over fire hundre ganger større enn tyngdeakselerasjonen g, altså over 400g. Den som vil kontrollere det fra farten til trommelveggen 31,4 m/s og formelen $\frac{v^2}{r}$, får det samme.

Vinkelhastigheten står i andre i formelen. En vaskemaskin som sentrifugerer bare på 800 omdr/min, dreier en tredjedel langsommere, men har under halvparten så stor akselerasjon: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, altså omtrent 1750 m/s². Derfor får du merkbart våtere klesvask ut av en langsom sentrifugering.

Hva følger av dette for klesvasken? For at en vanndråpe skal gå rundt med trommelen, må den hele tiden svinge, og det med en enorm akselerasjon. Sokken holdes på sirkelen av veggen i trommelen, men i veggen er det hull. En dråpe som kommer over et hull, har ikke noe som dreier den lenger. Den slutter å svinge og fortsetter rett fram langs tangenten, ut av trommelen. Sokken blir igjen inni og vannet er ute. Hva som egentlig tvinger legemene til å svinge, er et spørsmål om krefter. Kinematikken har fortalt oss hvor mye akselerasjon en slik sving krever, og for vaskemaskinen er det virkelig mye.

Vi har dermed beskrevet bevegelsen, men ikke årsaken til den. Hvorfor legemer kommer i gang, bremser og svinger, forklarer kreftene, og med dem begynner den andre delen av kategorien, artikkelen Kraft.