Aceleração centrípeta

Um carro contorna uma rotatória e o ponteiro do velocímetro nem se mexe. O motorista não acelera nem freia e, mesmo assim, o carro tem aceleração. A aceleração, afinal, não mede como muda o número do velocímetro, mas como muda a seta inteira da velocidade. E ela, na curva, gira. No movimento circular uniforme a aceleração aponta sempre para o centro da circunferência e, por isso, recebeu o nome de aceleração centrípeta.

Se você procura só a fórmula: um corpo que gira com velocidade v numa circunferência de raio r tem aceleração centrípeta

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

onde ω é a velocidade angular. Para onde essa aceleração aponta e de onde saiu essa fórmula, mostraremos nas figuras.

A seta da velocidade gira o tempo todo

A aceleração diz como a velocidade muda por unidade de tempo. A velocidade, porém, é um vetor, uma seta, e ela pode mudar de dois modos: alongando-se ou encurtando-se, ou girando. Num movimento em linha reta, a seta só se estica e se encurta, o que corresponde a arrancar e frear. Na circunferência vale exatamente o contrário. O comprimento da seta não muda, porque o corpo anda sempre com a mesma rapidez, mas a seta aponta ao longo da tangente à circunferência e, por isso, a cada pedacinho de arco ela gira um pouco. Até o simples giro da seta é uma mudança da velocidade e, portanto, aceleração.

Um equívoco comum é afirmar que o movimento circular uniforme não tem aceleração, porque a velocidade permanece a mesma. Igual é só o módulo dela. Se a aceleração fosse nula, a seta da velocidade não poderia mudar de jeito nenhum, nem em comprimento nem em direção, e o corpo andaria em linha reta. Fazer curva sem aceleração não dá.

A animação mostra um ponto que gira numa circunferência com velocidade constante. A seta vermelha da velocidade gira com ele, e a seta verde da aceleração, a cada instante, aponta para o centro.

A seta verde está sempre perpendicular à vermelha. A aceleração, por isso, não tem nenhuma componente no sentido do movimento nem contra ele, e o módulo da velocidade não muda. Toda a aceleração é gasta em girar a seta. A figura revela por que ela aponta justamente para o centro e qual é o seu valor.

Qual é o valor da aceleração centrípeta

Observemos o ponto só por um instante curto Δt. Nesse tempo ele se desloca do lugar A ao lugar B e percorre a distância

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Na figura esse pedacinho de movimento aparece duas vezes. À esquerda você vê o triângulo azul das posições: o centro da circunferência e os pontos A e B. Dois lados dele são raios r, o terceiro é o segmento AB. Em um instante curto o arco é quase reto, então o segmento AB tem praticamente o comprimento Δs. À direita está o triângulo verde das velocidades: as duas setas da velocidade traçadas a partir de um ponto e a diferença delas $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, que vai da ponta de ${\overrightarrow{v}}_1$ até a ponta de ${\overrightarrow{v}}_2$. As duas setas da velocidade têm comprimento v.

Para facilitar a leitura, o ângulo foi desenhado grande, mas imagine-o bem pequeno. O essencial é que os dois triângulos têm no vértice o mesmo ângulo φ. A seta da velocidade é sempre perpendicular ao raio, então, quando o raio gira o ângulo φ, a seta da velocidade também gira o mesmo ângulo. O raio e a seta estão ligados como os braços da letra L: se você gira um braço, gira a letra inteira. Os dois triângulos são isósceles com o mesmo ângulo entre os lados iguais. Têm, por isso, a mesma forma e diferem só no tamanho: são semelhantes. Em triângulos semelhantes, a razão entre a base e o lado é a mesma:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Em palavras: a seta verde é tantas vezes mais curta que a seta da velocidade quantas vezes o segmento AB é mais curto que o raio. Substituímos Δs por v · Δt e arrumamos a equação:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

No lado esquerdo está a variação da velocidade por unidade de tempo, que é a aceleração:

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}$$

Trapaceamos um pouco, porque o segmento AB é um fio mais curto que o arco. Mas, quanto mais curto o instante que observamos, mais o segmento coincide com o arco, e para a aceleração instantânea tomamos um instante tão curto que não notamos a diferença. A fórmula, por isso, vale exatamente.

A figura revela também a direção. A seta verde $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ aponta para baixo, como a ligação do ponto médio do segmento AB ao centro da circunferência. Para um ângulo pequeno ela é quase perpendicular às duas setas da velocidade, e perpendicular à tangente vai o raio. A variação da velocidade e, com ela, a aceleração apontam, assim, para o centro.

As unidades também conferem:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A fórmula, além disso, se comporta de modo razoável. Quanto mais depressa o corpo anda, mais longa é a seta da velocidade e mais depressa ela gira. As duas coisas aumentam a aceleração, e por isso a fórmula tem a velocidade ao quadrado. Com o aumento do raio, a circunferência se endireita e a aceleração diminui. Com um raio enorme, um pedaço da circunferência é quase uma reta e a aceleração é quase nula, exatamente como deve ser ao andar em linha reta com velocidade constante.

A segunda forma da fórmula sai quando substituímos a velocidade pela expressão v = ω · r:

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Aqui é fácil tropeçar. Na primeira forma o raio está no denominador, na segunda no numerador. A aceleração cresce com o raio ou diminui? As duas coisas valem, só que a cada vez permanece constante algo diferente. Com a mesma velocidade, uma curva mais aberta é mais suave, a aceleração é menor. Com a mesma velocidade angular, por exemplo num carrossel, o cavalinho da borda tem velocidade maior e, com isso, aceleração maior do que o cavalinho perto do centro.

Um quarto da rotatória

Voltemos à rotatória. O carro anda por ela a 54 km/h, ou seja, 15 m/s, e percorre um quarto da rotatória em 3 s. Das setas da velocidade no início e no fim do quarto de volta sai a aceleração média de cerca de 7,1 m/s² para o centro. Mas qual é a aceleração em cada instante?

Precisamos do raio. Em 3 s o carro percorre 15 m/s · 3 s = 45 m e isso é um quarto do comprimento da circunferência:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Agora isso vai na fórmula. Deixamos o raio como fração, para não arredondar no resultado intermediário, e a divisão por uma fração é a multiplicação pelo inverso dela:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{cp}}& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

A aceleração instantânea é 7,85 m/s², mais do que os 7,1 m/s² médios. É aproximadamente o que o carro aguenta na frenagem total em asfalto seco, então uma rotatória tão pequena é realmente fechada para 54 km/h. Como é que os números diferem, se a aceleração tem o mesmo valor o tempo todo? A aceleração média parte apenas da primeira e da última seta da velocidade e da diferença delas. Imagine todas as setas da velocidade desse quarto de rotatória, traçadas a partir de um ponto. As pontas delas descrevem um quarto de circunferência de raio 15 m/s. A aceleração instantânea indica com que rapidez a ponta avança por esse arco. A aceleração média trabalha só com a ligação reta entre a primeira e a última ponta, e ela é mais curta que o arco. Do mesmo modo diferem o deslocamento e a distância percorrida: em linha reta é sempre mais perto.

Podemos conferir os números. O arco é um quarto do comprimento da circunferência de raio 15 m/s, ou seja, $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A ligação das pontas é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 15 m/s, ou seja, 21,2 m/s. Dividimos os dois por três segundos:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

O primeiro número é a aceleração instantânea da fórmula, o segundo a média. Quanto mais curto o trecho da rotatória, mais o arco coincide com a ligação reta e mais a aceleração média se aproxima da instantânea.

O carro na curva

Agora o carro anda com os mesmos 54 km/h numa curva mais aberta, de raio 50 m. Qual é a aceleração dele? Anotamos o que sabemos e convertemos logo a velocidade em metros por segundo:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_{\mathrm{cp}}& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Substituímos na fórmula:

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Em comparação com a rotatória, a aceleração é quase metade, uma curva mais aberta é mais suave. Mas atenção com a velocidade, que está na fórmula ao quadrado. Quando o carro entra na mesma curva com o dobro da velocidade, tem aceleração quatro vezes maior, 18 m/s², e nenhum carro na estrada aguenta isso. Por isso se freia antes da curva, e não só dentro dela. A aceleração de 4,5 m/s² não é nada desprezível, é mais ou menos como uma frenagem firme. Só que aponta para o lado.

A Terra em torno do Sol

A Terra gira em torno do Sol com velocidade de cerca de 30 km/s, ou seja, 3 · 10⁴ m/s, a uma distância de cerca de 1,5 · 10¹¹ m. Podemos conferir a velocidade: uma volta dura um ano, cerca de 3,16 · 10⁷ s, então

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

A trajetória da Terra não é exatamente uma circunferência, mas chega muito perto, então podemos substituir na fórmula:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{cp}}& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

São apenas 0,006 m/s². A seta da velocidade muda a cada segundo só seis milímetros por segundo, o que, para uma velocidade de trinta quilômetros por segundo, não é nada. Em um segundo a Terra avança 30 km e, nesse tempo, se desvia da reta só $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Só que um ano tem mais de trinta milhões de segundos e, por isso, a seta da velocidade em um ano gira uma volta inteira e a trajetória da Terra se fecha.

Por que a máquina de lavar centrifuga a roupa

O tambor de uma máquina de lavar de raio 0,25 m, na centrifugação a 1.200 rpm, gira com velocidade angular 40π rad/s. Agora vem a calhar a segunda forma da fórmula:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{cp}}& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3.950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

O radiano é um número puro, então das unidades sobram metros por segundo ao quadrado. A aceleração é mais de quatrocentas vezes maior que a aceleração da gravidade g, isto é, mais de 400g. Quem quiser conferir isso pela velocidade da parede do tambor, 31,4 m/s, e pela fórmula $\frac{v^2}{r}$, obtém o mesmo.

A velocidade angular está na fórmula ao quadrado. Uma máquina que centrifuga a apenas 800 rpm gira um terço mais devagar, mas tem aceleração mais de duas vezes menor: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, ou seja, cerca de 1.750 m/s². Por isso você tira da centrifugação lenta uma roupa visivelmente mais molhada.

O que isso significa para a roupa? Para uma gota de água girar com o tambor, ela precisa fazer curva o tempo todo, e isso com enorme aceleração. A meia na circunferência é mantida pela parede do tambor, mas na parede há furinhos. A gota que chega a um furinho já não tem nada que a faça girar. Deixa de fazer a curva e segue em linha reta pela tangente, para fora do tambor. A meia fica dentro e a água fica fora. O que exatamente obriga os corpos a fazer curva é uma questão das forças. A cinemática nos disse quanta aceleração uma curva assim exige e, na máquina de lavar, é realmente muita.

Com isso descrevemos o movimento, mas não a sua causa. As forças explicam por que os corpos arrancam, freiam e fazem curvas, e com elas começa a segunda parte da categoria, o artigo Força.