Κεντρομόλος επιτάχυνση

Ένα αυτοκίνητο περνά από έναν κυκλικό κόμβο και ο δείκτης του κοντέρ δεν κουνιέται καθόλου. Ο οδηγός ούτε πατά γκάζι ούτε φρενάρει, κι όμως το αυτοκίνητο έχει επιτάχυνση. Η επιτάχυνση δεν μετρά πώς αλλάζει ο αριθμός στο κοντέρ, αλλά πώς αλλάζει ολόκληρο το βέλος της ταχύτητας. Και αυτό στρέφεται στη στροφή. Στην ομαλή κυκλική κίνηση η επιτάχυνση δείχνει πάντα προς το κέντρο του κύκλου, και απ' αυτό πήρε το όνομά της: κεντρομόλος επιτάχυνση.

Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο: ένα σώμα που κινείται με ταχύτητα υ σε κύκλο ακτίνας R έχει κεντρομόλο επιτάχυνση

$${\alpha }_{\kappa }=\frac{{\upsilon }^2}{R}={\omega }^2\cdot R,$$

όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα. Προς τα πού δείχνει αυτή η επιτάχυνση και από πού προέκυψε ο τύπος, θα το δούμε στα σχήματα.

Το βέλος της ταχύτητας στρέφεται συνεχώς

Η επιτάχυνση λέει πώς αλλάζει η ταχύτητα στη μονάδα του χρόνου. Η ταχύτητα όμως είναι διάνυσμα, βέλος, και αυτό μπορεί να αλλάξει με δύο τρόπους: να μακρύνει ή να κοντύνει, ή να στραφεί. Όταν κινούμαστε σε ευθεία, το βέλος μόνο επιμηκύνεται και βραχύνεται, κάτι που αντιστοιχεί στο ξεκίνημα και το φρενάρισμα. Στον κύκλο ισχύει το ακριβώς αντίθετο. Το μήκος του βέλους δεν αλλάζει, επειδή το σώμα κινείται συνεχώς εξίσου γρήγορα, το βέλος όμως δείχνει κατά την εφαπτομένη του κύκλου, και έτσι με κάθε κομμάτι του τόξου στρέφεται λίγο. Και η ίδια η στροφή του βέλους είναι μεταβολή της ταχύτητας, άρα επιτάχυνση.

Συχνό λάθος είναι να λέμε ότι η ομαλή κυκλική κίνηση δεν έχει επιτάχυνση, επειδή η ταχύτητα μένει ίδια. Ίδιο μένει μόνο το μέτρο της. Αν η επιτάχυνση ήταν μηδέν, το βέλος της ταχύτητας δεν θα έπρεπε να αλλάζει καθόλου, ούτε σε μήκος ούτε σε κατεύθυνση, και το σώμα θα κινούνταν ευθεία. Χωρίς επιτάχυνση δεν γίνεται στροφή.

Η κινούμενη εικόνα δείχνει ένα σημείο που κινείται σε κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Το κόκκινο βέλος της ταχύτητας στρέφεται μαζί του, το πράσινο βέλος της επιτάχυνσης σε κάθε στιγμή δείχνει προς το κέντρο.

Το πράσινο βέλος είναι πάντα κάθετο στο κόκκινο. Η επιτάχυνση δεν έχει επομένως καμία συνιστώσα προς την κατεύθυνση της κίνησης ούτε αντίθετα προς αυτήν, και έτσι το μέτρο της ταχύτητας δεν αλλάζει. Όλη η επιτάχυνση ξοδεύεται στη στροφή του βέλους. Γιατί δείχνει ακριβώς προς το κέντρο και πόση είναι, θα το αποκαλύψει το σχήμα.

Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση

Παρατηρούμε το σημείο μόνο για ένα σύντομο χρονικό διάστημα Δt. Σε αυτό το διάστημα μετακινείται από το σημείο A στο σημείο B και διανύει διάστημα

$$\mathrm{\Delta }s=\upsilon \cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Στο σχήμα αυτό το κομμάτι της κίνησης εμφανίζεται δύο φορές. Αριστερά βλέπεις το μπλε τρίγωνο των θέσεων: το κέντρο του κύκλου και τα σημεία A και B. Οι δύο πλευρές του είναι ακτίνες R, η τρίτη είναι το τμήμα AB. Σε σύντομο χρόνο το τόξο είναι σχεδόν ευθύγραμμο, άρα το τμήμα AB έχει πρακτικά μήκος Δs. Δεξιά θα βρεις το πράσινο τρίγωνο των ταχυτήτων: τα δύο βέλη ταχύτητας σχεδιασμένα από το ίδιο σημείο και η διαφορά τους $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{\upsilon }$, που πηγαίνει από την αιχμή του ${\overrightarrow{\upsilon }}_1$ στην αιχμή του ${\overrightarrow{\upsilon }}_2$. Και τα δύο βέλη ταχύτητας έχουν μήκος υ.

Για να φαίνεται καλύτερα, η γωνία έχει σχεδιαστεί μεγάλη, εσύ όμως φαντάσου τη πολύ μικρή. Το ουσιώδες είναι ότι και τα δύο τρίγωνα έχουν στην κορυφή την ίδια γωνία φ. Το βέλος της ταχύτητας είναι πάντα κάθετο στην ακτίνα, άρα όταν η ακτίνα στραφεί κατά γωνία φ, κατά την ίδια γωνία στρέφεται και το βέλος της ταχύτητας. Η ακτίνα και το βέλος είναι συνδεδεμένα σαν τις πλευρές του γράμματος Γ: αν στρέψεις τη μία πλευρά, στρέφεται ολόκληρο το γράμμα. Και τα δύο τρίγωνα είναι ισοσκελή με ίση γωνία ανάμεσα στα σκέλη. Έχουν γι' αυτό το ίδιο σχήμα και διαφέρουν μόνο στο μέγεθος: είναι όμοια. Στα όμοια τρίγωνα ο λόγος της βάσης προς το σκέλος είναι ο ίδιος:

$$\frac{\mathrm{\Delta }\upsilon }{\upsilon }=\frac{\mathrm{\Delta }s}{R}$$

Με λόγια: το πράσινο βέλος είναι τόσες φορές μικρότερο από το βέλος της ταχύτητας, όσες φορές το τμήμα AB είναι μικρότερο από την ακτίνα. Στη θέση του Δs αντικαθιστούμε το υ · Δt και επεξεργαζόμαστε την εξίσωση:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }\upsilon }{\upsilon }& =& \frac{\upsilon \cdot \mathrm{\Delta }t}{R}/\cdot \upsilon \\ \mathrm{\Delta }\upsilon & =& \frac{{\upsilon }^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{R}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }\upsilon }{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{{\upsilon }^2}{R}\end{array}$$

Στο αριστερό μέλος βρίσκεται η μεταβολή της ταχύτητας στη μονάδα του χρόνου, δηλαδή η επιτάχυνση:

$${\alpha }_{\kappa }=\frac{{\upsilon }^2}{R}$$

Κάναμε μια μικρή απλοποίηση, επειδή το τμήμα AB είναι λίγο μικρότερο από το τόξο. Όσο πιο σύντομο διάστημα παρατηρούμε όμως, τόσο περισσότερο το τμήμα συμπίπτει με το τόξο, και για τη στιγμιαία επιτάχυνση παίρνουμε διάστημα τόσο μικρό, ώστε η διαφορά να μη διακρίνεται. Ο τύπος ισχύει γι' αυτό ακριβώς.

Το σχήμα φανερώνει και την κατεύθυνση. Το πράσινο βέλος $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{\upsilon }$ δείχνει προς τα κάτω, όπως η ευθεία που ενώνει το μέσο του τμήματος AB με το κέντρο του κύκλου. Για μικρή γωνία είναι σχεδόν κάθετο και στα δύο βέλη ταχύτητας, και κάθετη στην εφαπτομένη είναι η ακτίνα. Η μεταβολή της ταχύτητας, και μαζί της η επιτάχυνση, δείχνει έτσι προς το κέντρο.

Οι μονάδες επίσης συμφωνούν:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ο τύπος εξάλλου συμπεριφέρεται λογικά. Όσο πιο γρήγορα κινείται το σώμα, τόσο μακρύτερο είναι το βέλος της ταχύτητας και τόσο πιο γρήγορα στρέφεται. Και τα δύο αυξάνουν την επιτάχυνση, γι' αυτό στον τύπο η ταχύτητα είναι στο τετράγωνο. Όσο μεγαλώνει η ακτίνα, ο κύκλος ισιώνει και η επιτάχυνση μικραίνει. Για τεράστια ακτίνα ένα κομμάτι του κύκλου είναι σχεδόν ευθεία και η επιτάχυνση σχεδόν μηδενική, ακριβώς όπως πρέπει να είναι στην κίνηση σε ευθεία με σταθερή ταχύτητα.

Τη δεύτερη μορφή του τύπου τη βρίσκουμε αν αντικαταστήσουμε την ταχύτητα με την παράσταση υ = ω · R:

$${\alpha }_{\kappa }=\frac{(\omega \cdot R{)}^2}{R}=\frac{{\omega }^2\cdot R^2}{R}={\omega }^2\cdot R$$

Εδώ εύκολα μπορείς να σκοντάψεις. Στην πρώτη μορφή η ακτίνα βρίσκεται στον παρονομαστή, στη δεύτερη στον αριθμητή. Η επιτάχυνση αυξάνεται με την ακτίνα ή μειώνεται; Ισχύουν και τα δύο, μόνο που κάθε φορά μένει σταθερό κάτι διαφορετικό. Με την ίδια ταχύτητα μια πιο ανοιχτή στροφή είναι ηπιότερη, η επιτάχυνση είναι μικρότερη. Με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, για παράδειγμα στο καρουζέλ, το αλογάκι στην άκρη έχει μεγαλύτερη ταχύτητα και άρα και μεγαλύτερη επιτάχυνση από το αλογάκι κοντά στο κέντρο.

Το ένα τέταρτο του κυκλικού κόμβου

Ας γυρίσουμε στον κυκλικό κόμβο. Το αυτοκίνητο κινείται σε αυτόν με ταχύτητα 54 km/h, δηλαδή 15 m/s, και το ένα τέταρτο του κόμβου το διασχίζει σε 3 s. Από το βέλος της ταχύτητας στην αρχή και στο τέλος του τετάρτου βγαίνει μέση επιτάχυνση περίπου 7,1 m/s² προς το κέντρο. Ποια είναι όμως η επιτάχυνση σε κάθε στιγμή;

Χρειαζόμαστε την ακτίνα. Σε 3 s το αυτοκίνητο διανύει 15 m/s · 3 s = 45 m και αυτό είναι το ένα τέταρτο του μήκους του κύκλου:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot R}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ R& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Τώρα αντικαθιστούμε στον τύπο. Την ακτίνα την αφήνουμε ως κλάσμα, για να μη στρογγυλοποιούμε στο ενδιάμεσο αποτέλεσμα, και η διαίρεση με κλάσμα είναι πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφό του:

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_{\kappa }& =\frac{{\upsilon }^2}{R}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Η στιγμιαία επιτάχυνση είναι 7,85 m/s², μεγαλύτερη από τη μέση των 7,1 m/s². Είναι περίπου όση πετυχαίνει ένα αυτοκίνητο φρενάροντας με όλη του τη δύναμη σε στεγνή άσφαλτο, άρα με 54 km/h ένας τόσο μικρός κόμβος είναι πράγματι πολύ κλειστή στροφή. Πώς γίνεται οι αριθμοί να διαφέρουν, αφού η επιτάχυνση έχει όλη την ώρα το ίδιο μέτρο; Η μέση επιτάχυνση προκύπτει μόνο από το πρώτο και το τελευταίο βέλος ταχύτητας και από τη διαφορά τους. Φαντάσου όλα τα βέλη ταχύτητας από αυτό το τέταρτο του κόμβου, σχεδιασμένα από το ίδιο σημείο. Οι αιχμές τους διαγράφουν το ένα τέταρτο ενός κύκλου ακτίνας 15 m/s. Η στιγμιαία επιτάχυνση λέει πόσο γρήγορα προχωρά η αιχμή πάνω σε αυτό το τόξο. Η μέση επιτάχυνση δουλεύει μόνο με την ευθεία που ενώνει την πρώτη και την τελευταία αιχμή, και αυτή είναι μικρότερη από το τόξο. Με τον ίδιο τρόπο διαφέρουν η μετατόπιση και το διάστημα: σε ευθεία είναι πάντα πιο κοντά.

Τους αριθμούς μπορούμε να τους ελέγξουμε. Το τόξο είναι το ένα τέταρτο του μήκους κύκλου ακτίνας 15 m/s, δηλαδή $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Η ευθεία που ενώνει τις αιχμές είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 15 m/s, δηλαδή 21,2 m/s. Και τα δύο τα διαιρούμε με τα τρία δευτερόλεπτα:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ο πρώτος αριθμός είναι η στιγμιαία επιτάχυνση από τον τύπο, ο δεύτερος η μέση. Όσο πιο σύντομο είναι το κομμάτι του κόμβου, τόσο περισσότερο το τόξο συμπίπτει με την ευθεία και η μέση επιτάχυνση πλησιάζει τη στιγμιαία.

Αυτοκίνητο σε στροφή

Τώρα το αυτοκίνητο κινείται με τα ίδια 54 km/h σε μια πιο ανοιχτή στροφή ακτίνας 50 m. Ποια είναι η επιτάχυνσή του; Γράφουμε αυτά που ξέρουμε και μετατρέπουμε αμέσως την ταχύτητα σε μέτρα το δευτερόλεπτο:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ R& =50\mathrm{m}\\ {\alpha }_{\kappa }& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Αντικαθιστούμε στον τύπο:

$${\alpha }_{\kappa }=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Σε σύγκριση με τον κυκλικό κόμβο η επιτάχυνση είναι σχεδόν η μισή, μια πιο ανοιχτή στροφή είναι ηπιότερη. Πρόσεξε όμως την ταχύτητα, που στον τύπο είναι στο τετράγωνο. Αν το αυτοκίνητο μπει στην ίδια στροφή με διπλάσια ταχύτητα, έχει τετραπλάσια επιτάχυνση, 18 m/s², και τέτοια επιτάχυνση δεν την πετυχαίνει κανένα αυτοκίνητο στον δρόμο. Γι' αυτό φρενάρουμε πριν από τη στροφή και όχι μέσα σε αυτήν. Η επιτάχυνση 4,5 m/s² δεν είναι καθόλου ευκαταφρόνητη, είναι περίπου όση σε ένα απότομο φρενάρισμα. Μόνο που δείχνει προς το πλάι.

Η Γη γύρω από τον Ήλιο

Η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο με ταχύτητα περίπου 30 km/s, δηλαδή 3 · 10⁴ m/s, σε απόσταση περίπου 1,5 · 10¹¹ m. Την ταχύτητα μπορούμε να την ελέγξουμε: μία περιφορά διαρκεί ένα έτος, περίπου 3,16 · 10⁷ s, άρα

$$\upsilon =\frac{2\pi \cdot R}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Η τροχιά της Γης δεν είναι ακριβώς κύκλος, είναι όμως πολύ κοντά σε αυτόν, και μπορούμε να αντικαταστήσουμε στον τύπο:

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_{\kappa }& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Αυτό είναι μόλις 0,006 m/s². Το βέλος της ταχύτητας αλλάζει κάθε δευτερόλεπτο μόνο κατά έξι χιλιοστά το δευτερόλεπτο, μπροστά σε ταχύτητα τριάντα χιλιομέτρων το δευτερόλεπτο σχεδόν τίποτα. Σε ένα δευτερόλεπτο η Γη διανύει 30 km και αποκλίνει από την ευθεία μόλις κατά $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Το έτος όμως έχει πάνω από τριάντα εκατομμύρια δευτερόλεπτα, και έτσι το βέλος της ταχύτητας στρέφεται μέσα σε ένα έτος ολόκληρο κύκλο και η τροχιά της Γης κλείνει.

Γιατί το πλυντήριο στύβει τα ρούχα

Το τύμπανο του πλυντηρίου με ακτίνα 0,25 m γυρίζει στο στύψιμο στις 1.200 στρ/min με γωνιακή ταχύτητα 40π rad/s. Τώρα μας χρειάζεται η δεύτερη μορφή του τύπου:

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_{\kappa }& ={\omega }^2\cdot R=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3.950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Το ακτίνιο είναι απλός αριθμός, άρα από τις μονάδες μένουν μέτρα το δευτερόλεπτο στο τετράγωνο. Η επιτάχυνση είναι πάνω από τετρακόσιες φορές μεγαλύτερη από την επιτάχυνση της βαρύτητας g, δηλαδή πάνω από 400g. Όποιος θα ήθελε να το ελέγξει από την ταχύτητα του τοιχώματος του τυμπάνου 31,4 m/s και τον τύπο $\frac{{\upsilon }^2}{R}$, θα βρει το ίδιο.

Η γωνιακή ταχύτητα στον τύπο είναι στο τετράγωνο. Ένα πλυντήριο που στύβει μόνο στις 800 στρ/min γυρίζει κατά ένα τρίτο πιο αργά, η επιτάχυνσή του όμως είναι πάνω από δύο φορές μικρότερη: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, δηλαδή περίπου 1.750 m/s². Γι' αυτό από το αργό στύψιμο βγάζεις αισθητά πιο βρεγμένα ρούχα.

Τι σημαίνει αυτό για τα ρούχα; Για να κινηθεί μια σταγόνα νερό μαζί με το τύμπανο, πρέπει να στρίβει διαρκώς, και μάλιστα με τεράστια επιτάχυνση. Την κάλτσα πάνω στον κύκλο τη συγκρατεί το τοίχωμα του τυμπάνου, το τοίχωμα όμως έχει τρύπες. Η σταγόνα που φτάνει πάνω από μια τρύπα δεν έχει πια τίποτα που να τη στρέφει. Παύει να στρίβει και συνεχίζει ευθεία κατά την εφαπτομένη, έξω από το τύμπανο. Η κάλτσα μένει μέσα και το νερό είναι έξω. Τι ακριβώς αναγκάζει τα σώματα να στρίβουν, είναι ζήτημα δυνάμεων. Η κινηματική μάς είπε πόση επιτάχυνση χρειάζεται μια τέτοια στροφή, και στο πλυντήριο είναι πράγματι πολλή.

Έτσι περιγράψαμε την κίνηση, όχι όμως την αιτία της. Γιατί τα σώματα ξεκινούν, φρενάρουν και στρίβουν, το εξηγούν οι δυνάμεις και με αυτές αρχίζει το δεύτερο μέρος της κατηγορίας, το άρθρο Δύναμη.