Przyspieszenie dośrodkowe

Samochód przejeżdża przez rondo, a wskazówka prędkościomierza ani drgnie. Kierowca nie dodaje gazu ani nie hamuje, a mimo to samochód ma przyspieszenie. Przyspieszenie nie mierzy bowiem, jak zmienia się liczba na prędkościomierzu, tylko jak zmienia się cała strzałka prędkości. A ta na zakręcie się obraca. W ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie jest zawsze skierowane do środka okręgu i stąd wzięła się jego nazwa: przyspieszenie dośrodkowe.

Jeśli szukasz tylko wzoru: ciało, które krąży z prędkością v po okręgu o promieniu r, ma przyspieszenie dośrodkowe

$$a_d=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

gdzie ω to prędkość kątowa. Dokąd to przyspieszenie jest skierowane i skąd wziął się ten wzór, pokażemy na rysunkach.

Strzałka prędkości cały czas się obraca

Przyspieszenie mówi, jak zmienia się prędkość w jednostce czasu. Prędkość jest jednak wektorem, strzałką, a ta może zmienić się na dwa sposoby: wydłużyć się lub skrócić albo się obrócić. Podczas jazdy po prostej strzałka tylko się wydłuża i skraca, co odpowiada ruszaniu i hamowaniu. Na okręgu jest dokładnie odwrotnie. Długość strzałki się nie zmienia, bo ciało jedzie cały czas tak samo szybko, za to strzałka jest skierowana stycznie do okręgu, więc z każdym kawałkiem łuku trochę się obraca. Samo obracanie się strzałki też jest zmianą prędkości, a więc przyspieszeniem.

Częstym błędem jest twierdzenie, że ruch jednostajny po okręgu nie ma przyspieszenia, bo prędkość się nie zmienia. Nie zmienia się tylko jej wartość. Gdyby przyspieszenie było zerowe, strzałka prędkości nie mogłaby zmieniać się w ogóle, ani długością, ani kierunkiem, i ciało jechałoby prosto. Skręcać bez przyspieszenia się nie da.

Animacja pokazuje punkt, który krąży po okręgu ze stałą prędkością. Czerwona strzałka prędkości obraca się razem z nim, a zielona strzałka przyspieszenia w każdej chwili wskazuje środek.

Zielona strzałka jest zawsze prostopadła do czerwonej. Przyspieszenie nie ma więc żadnej składowej w kierunku jazdy ani przeciwnej, dlatego wartość prędkości się nie zmienia. Całe przyspieszenie służy tylko obracaniu strzałki. Dlaczego jest skierowane akurat do środka i jak jest duże, zdradzi rysunek.

Jak duże jest przyspieszenie dośrodkowe

Obserwujmy punkt tylko przez krótką chwilę Δt. W tym czasie przesunie się z miejsca A do miejsca B i pokona drogę

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Na rysunku ten kawałek ruchu jest pokazany dwa razy. Po lewej widzisz niebieski trójkąt położeń: środek okręgu oraz punkty A i B. Dwa jego boki to promienie r, trzeci to odcinek AB. W krótkiej chwili łuk jest prawie prosty, więc odcinek AB ma długość praktycznie Δs. Po prawej znajdziesz zielony trójkąt prędkości: obie strzałki prędkości zaczepione w jednym punkcie i ich różnicę $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, która prowadzi od grotu ${\overrightarrow{v}}_1$ do grotu ${\overrightarrow{v}}_2$. Obie strzałki prędkości mają długość v.

Dla czytelności kąt jest narysowany duży, ty jednak wyobraź go sobie całkiem mały. Najważniejsze jest to, że oba trójkąty mają przy wierzchołku ten sam kąt φ. Strzałka prędkości jest bowiem zawsze prostopadła do promienia, więc gdy promień obróci się o kąt φ, o ten sam kąt obróci się też strzałka prędkości. Promień i strzałka są połączone jak ramiona litery L: obrócisz jedno ramię, obróci się cała litera. Oba trójkąty są równoramienne z tym samym kątem między ramionami. Mają więc ten sam kształt i różnią się tylko wielkością: są podobne. W trójkątach podobnych stosunek podstawy do ramienia jest taki sam:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Słowami: zielona strzałka jest tyle razy krótsza od strzałki prędkości, ile razy odcinek AB jest krótszy od promienia. W miejsce Δs podstawiamy v · Δt i przekształcamy równanie:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

Po lewej stronie mamy zmianę prędkości w jednostce czasu, czyli przyspieszenie:

$$a_d=\frac{v^2}{r}$$

Trochę oszukiwaliśmy, bo odcinek AB jest odrobinę krótszy od łuku. Im krótszą chwilę jednak obserwujemy, tym bardziej odcinek pokrywa się z łukiem, a dla przyspieszenia chwilowego bierzemy chwilę tak krótką, że różnicy nie da się zauważyć. Wzór jest więc dokładny.

Rysunek zdradza też kierunek. Zielona strzałka $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ jest skierowana w dół, tak samo jak odcinek łączący środek odcinka AB ze środkiem okręgu. Dla małego kąta jest prawie prostopadła do obu strzałek prędkości, a prostopadle do stycznej biegnie promień. Zmiana prędkości, a razem z nią przyspieszenie, jest więc skierowana do środka.

Zgadzają się też jednostki:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Wzór zachowuje się do tego rozsądnie. Im szybciej ciało jedzie, tym dłuższa jest strzałka prędkości i tym szybciej się obraca. Jedno i drugie zwiększa przyspieszenie, dlatego prędkość jest we wzorze do kwadratu. Gdy promień rośnie, okrąg się prostuje, a przyspieszenie maleje. Przy ogromnym promieniu kawałek okręgu jest prawie prostą, a przyspieszenie prawie zerowe, dokładnie tak, jak powinno być przy jeździe prosto ze stałą prędkością.

Drugą postać wzoru dostaniemy, gdy prędkość zastąpimy wyrażeniem v = ω · r:

$$a_d=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Tu łatwo się potknąć. W pierwszej postaci promień występuje w mianowniku, w drugiej w liczniku. Czy przyspieszenie z promieniem rośnie, czy maleje? Prawdziwe jest jedno i drugie, tylko za każdym razem bez zmian zostaje coś innego. Przy tej samej prędkości szerszy zakręt jest łagodniejszy, przyspieszenie jest mniejsze. Przy tej samej prędkości kątowej, na przykład na karuzeli, konik przy brzegu ma większą prędkość, a więc i większe przyspieszenie niż konik przy środku.

Ćwierć ronda

Wróćmy na rondo. Samochód jedzie po nim z prędkością 54 km/h, czyli 15 m/s, i ćwierć ronda przejeżdża w 3 s. Ze strzałki prędkości na początku i na końcu tej ćwiartki wychodzi przyspieszenie średnie około 7,1 m/s² skierowane do środka. Jakie jest jednak przyspieszenie w każdej chwili?

Potrzebujemy promienia. W ciągu 3 s samochód przejedzie 15 m/s · 3 s = 45 m, a to jest ćwierć obwodu okręgu:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Teraz pora na wzór. Promień zostawiamy w postaci ułamka, żeby nie zaokrąglać wyniku pośredniego, a dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$\begin{array}{rl}{a}_d& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Przyspieszenie chwilowe wynosi 7,85 m/s², więcej niż średnie 7,1 m/s². To mniej więcej tyle, ile samochód osiąga przy pełnym hamowaniu na suchym asfalcie, więc tak małe rondo przy 54 km/h jest naprawdę ostre. Jak to możliwe, że liczby się różnią, skoro przyspieszenie ma przez cały czas tę samą wartość? Przyspieszenie średnie wynika tylko z pierwszej i ostatniej strzałki prędkości i z ich różnicy. Wyobraź sobie wszystkie strzałki prędkości z tej ćwiartki ronda zaczepione w jednym punkcie. Ich groty zakreślą ćwiartkę okręgu o promieniu 15 m/s. Przyspieszenie chwilowe mówi, jak szybko grot przesuwa się po tym łuku. Przyspieszenie średnie korzysta tylko z prostego odcinka łączącego pierwszy i ostatni grot, a ten jest krótszy od łuku. Tak samo różnią się przemieszczenie i droga: po prostej jest zawsze bliżej.

Liczby możemy sprawdzić. Łuk to ćwierć obwodu okręgu o promieniu 15 m/s, czyli $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Odcinek łączący groty to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 15 m/s, czyli 21,2 m/s. Oba wyniki dzielimy przez trzy sekundy:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Pierwsza liczba to przyspieszenie chwilowe ze wzoru, druga to przyspieszenie średnie. Im krótszy fragment ronda, tym bardziej łuk pokrywa się z odcinkiem, a przyspieszenie średnie zbliża się do chwilowego.

Samochód na zakręcie

Teraz samochód jedzie z tymi samymi 54 km/h przez szerszy zakręt o promieniu 50 m. Jakie ma przyspieszenie? Zapiszmy, co wiemy, a prędkość od razu zamieńmy na metry na sekundę:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_d& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Podstawiamy do wzoru:

$$a_d=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

W porównaniu z rondem przyspieszenie jest prawie o połowę mniejsze, szerszy zakręt jest łagodniejszy. Uwaga jednak na prędkość, która jest we wzorze do kwadratu. Kiedy samochód wjedzie w ten sam zakręt dwa razy szybciej, ma cztery razy większe przyspieszenie, 18 m/s², a z tym nie poradzi sobie na drodze żaden samochód. Dlatego hamuje się przed zakrętem, a nie dopiero w nim. Przyspieszenie 4,5 m/s² wcale nie jest małe, to mniej więcej tyle co zdecydowane hamowanie. Tylko jest skierowane w bok.

Ziemia wokół Słońca

Ziemia krąży wokół Słońca z prędkością około 30 km/s, czyli 3 · 10⁴ m/s, w odległości około 1,5 · 10¹¹ m. Prędkość możemy sprawdzić: jeden obieg trwa rok, około 3,16 · 10⁷ s, więc

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Orbita Ziemi nie jest dokładnie okręgiem, ale jest do niego bardzo zbliżona, więc możemy podstawić do wzoru:

$$\begin{array}{rl}{a}_d& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

To tylko 0,006 m/s². Strzałka prędkości co sekundę zmienia się o zaledwie sześć milimetrów na sekundę, co przy prędkości trzydziestu kilometrów na sekundę jest niczym. W ciągu jednej sekundy Ziemia przeleci 30 km i odchyli się przy tym od prostej tylko o $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Rok ma jednak ponad trzydzieści milionów sekund, więc w ciągu roku strzałka prędkości obraca się dookoła, a orbita Ziemi się zamyka.

Dlaczego pralka odwirowuje pranie

Bęben pralki o promieniu 0,25 m przy wirowaniu z prędkością 1200 obr/min obraca się z prędkością kątową 40π rad/s. Teraz przyda się druga postać wzoru:

$$\begin{array}{rl}{a}_d& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radian jest zwykłą liczbą, więc z jednostek zostają metry na sekundę do kwadratu. Przyspieszenie jest ponad czterysta razy większe od przyspieszenia ziemskiego g, czyli wynosi ponad 400g. Kto chciałby to sprawdzić z prędkości ścianki bębna 31,4 m/s i wzoru $\frac{v^2}{r}$, dostanie to samo.

Prędkość kątowa jest we wzorze do kwadratu. Pralka, która wiruje tylko z prędkością 800 obr/min, kręci się o jedną trzecią wolniej, ale przyspieszenie ma ponad dwa razy mniejsze: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, czyli około 1750 m/s². Dlatego po wolnym wirowaniu wyjmujesz wyraźnie bardziej mokre pranie.

Co z tego wynika dla prania? Żeby kropla wody krążyła razem z bębnem, musi bez przerwy skręcać, i to z ogromnym przyspieszeniem. Skarpetkę na okręgu utrzymuje ścianka bębna, ale w ściance są dziurki. Kropla, która znajdzie się nad dziurką, nie ma już nic, co zmuszałoby ją do skręcania. Przestaje skręcać i porusza się dalej prosto po stycznej, na zewnątrz bębna. Skarpetka zostaje w środku, a woda jest na zewnątrz. Co dokładnie zmusza ciała do skręcania, to pytanie o siły. Kinematyka powiedziała nam, jakiego przyspieszenia takie skręcanie wymaga, a w pralce jest go naprawdę dużo.

W ten sposób opisaliśmy ruch, ale nie jego przyczynę. Dlaczego ciała ruszają, hamują i skręcają, wyjaśniają siły i od nich zaczyna się druga część kategorii, artykuł Siła.