Centripetalacceleration

En bil kör genom en rondell och visaren på hastighetsmätaren står helt still. Föraren varken gasar eller bromsar, och ändå har bilen acceleration. Acceleration mäter nämligen inte hur talet på hastighetsmätaren ändras, utan hur hela hastighetspilen ändras. Och den vrids i kurvan. Vid likformig cirkelrörelse pekar accelerationen alltid mot cirkelns medelpunkt, och därav namnet centripetalacceleration.

Om du bara letar efter formeln: en kropp som rör sig med hastigheten v längs en cirkel med radien r har centripetalaccelerationen

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

där ω är vinkelhastigheten. Vart accelerationen pekar och var formeln kommer ifrån visar vi med figurer.

Hastighetspilen vrids hela tiden

Acceleration säger hur hastigheten ändras per tidsenhet. Hastighet är dock en vektor, en pil, och den kan ändras på två sätt: den kan bli längre eller kortare, eller den kan vridas. Vid rörelse längs en rät linje blir pilen bara längre och kortare, vilket motsvarar att man sätter fart och bromsar. På en cirkel är det tvärtom. Pilens längd ändras inte, eftersom kroppen rör sig med samma fart hela tiden, men pilen pekar längs en tangent till cirkeln och vrids därför lite för varje bit av bågen. Även själva vridningen av pilen är en hastighetsändring, och alltså acceleration.

Ett vanligt misstag är att påstå att likformig cirkelrörelse saknar acceleration eftersom hastigheten är densamma. Det är bara dess storlek som är densamma. Om accelerationen vore noll skulle hastighetspilen inte få ändras alls, varken i längd eller riktning, och kroppen skulle gå rakt fram. Att svänga utan acceleration går inte.

Animationen visar en punkt som går runt längs en cirkel med konstant hastighet. Den röda hastighetspilen vrids med den, den gröna accelerationspilen pekar i varje ögonblick mot medelpunkten.

Den gröna pilen står alltid vinkelrätt mot den röda. Accelerationen har därför ingen komposant i färdriktningen eller mot den, och hastighetens storlek ändras alltså inte. All acceleration går åt till att vrida pilen. Varför den pekar just mot medelpunkten och hur stor den är visar figuren.

Hur stor är centripetalaccelerationen

Vi studerar punkten bara en kort stund Δt. På den tiden förflyttar den sig från A till B och tillryggalägger sträckan

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

I figuren syns den här lilla biten av rörelsen två gånger. Till vänster ser du den blå lägestriangeln: cirkelns medelpunkt och punkterna A och B. Två av dess sidor är radier r, den tredje är sträckan AB. Under en kort stund är bågen nästan rak, så sträckan AB är praktiskt taget lika lång som Δs. Till höger finns den gröna hastighetstriangeln: båda hastighetspilarna ritade från samma punkt och deras skillnad $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, som går från spetsen på ${\overrightarrow{v}}_1$ till spetsen på ${\overrightarrow{v}}_2$. Båda hastighetspilarna har längden v.

För tydlighetens skull är vinkeln ritad stor, men tänk dig den ganska liten. Det viktiga är att båda trianglarna har samma vinkel φ i spetsen. Hastighetspilen är nämligen alltid vinkelrät mot radien, så när radien vrids vinkeln φ, vrids hastighetspilen lika mycket. Radien och pilen hänger ihop som benen på bokstaven L: vrider du det ena benet, vrids hela bokstaven. Båda trianglarna är likbenta med samma vinkel mellan benen. De har därför samma form och skiljer sig bara i storlek: de är likformiga. I likformiga trianglar är förhållandet mellan basen och benet detsamma:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Med ord: den gröna pilen är lika många gånger kortare än hastighetspilen som sträckan AB är kortare än radien. I stället för Δs sätter vi in v · Δt och förenklar ekvationen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

I vänstra ledet står hastighetsändringen per tidsenhet, alltså accelerationen:

$$a_c=\frac{v^2}{r}$$

Vi fuskade lite, eftersom sträckan AB är en aning kortare än bågen. Ju kortare stund vi studerar, desto mer sammanfaller sträckan med bågen, och för den momentana accelerationen tar vi en så kort stund att skillnaden inte syns. Formeln gäller därför exakt.

Figuren avslöjar också riktningen. Den gröna pilen $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ pekar nedåt, precis som linjen från mittpunkten på sträckan AB till cirkelns medelpunkt. För en liten vinkel är den nästan vinkelrät mot båda hastighetspilarna, och vinkelrätt mot en tangent går radien. Hastighetsändringen, och därmed accelerationen, pekar alltså mot medelpunkten.

Även enheterna stämmer:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Formeln beter sig dessutom rimligt. Ju fortare kroppen rör sig, desto längre är hastighetspilen och desto snabbare vrids den. Båda delarna ökar accelerationen, och därför står hastigheten i kvadrat i formeln. När radien växer rätas cirkeln ut och accelerationen minskar. Vid en enorm radie är en bit av cirkeln nästan en rät linje och accelerationen nästan noll, precis som det ska vara när man kör rakt fram med konstant hastighet.

Den andra formen av formeln får vi när vi ersätter hastigheten med uttrycket v = ω · r:

$$a_c=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Här är det lätt att snubbla. I den första formen står radien i nämnaren, i den andra i täljaren. Ökar accelerationen med radien, eller minskar den? Båda stämmer, men varje gång hålls något annat konstant. Vid samma hastighet är en bredare kurva mildare, och accelerationen är mindre. Vid samma vinkelhastighet, till exempel på en karusell, har hästen vid kanten större hastighet och därmed också större acceleration än hästen vid mitten.

En fjärdedels rondell

Vi går tillbaka till rondellen. Bilen kör genom den med 54 km/h, alltså 15 m/s, och kör en fjärdedel av rondellen på 3 s. Av hastighetspilen i början och i slutet av fjärdedelen får vi medelaccelerationen ungefär 7,1 m/s² mot medelpunkten. Men hur stor är accelerationen i varje ögonblick?

Vi behöver radien. På 3 s kör bilen 15 m/s · 3 s = 45 m, och det är en fjärdedel av cirkelns omkrets:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Nu är det dags att sätta in i formeln. Radien låter vi stå kvar som ett bråk, så att vi inte avrundar i delresultatet, och division med ett bråk är multiplikation med dess inverterade värde:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Den momentana accelerationen är 7,85 m/s², mer än medelaccelerationen 7,1 m/s². Det är ungefär lika mycket som en bil klarar vid full inbromsning på torr asfalt, så en så liten rondell är verkligen skarp vid 54 km/h. Hur kan talen skilja sig när accelerationen är lika stor hela tiden? Medelaccelerationen utgår bara från den första och den sista hastighetspilen och deras skillnad. Tänk dig alla hastighetspilar från den fjärdedelen av rondellen ritade från en punkt. Deras spetsar beskriver en fjärdedels cirkel med radien 15 m/s. Den momentana accelerationen anger hur fort spetsen rör sig längs den här bågen. Medelaccelerationen räknar bara med den raka linjen mellan den första och den sista spetsen, och den är kortare än bågen. På samma sätt skiljer sig förflyttning och sträcka åt: den raka vägen är alltid kortare.

Talen kan vi kontrollera. Bågen är en fjärdedel av omkretsen för en cirkel med radien 15 m/s, alltså $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Linjen mellan spetsarna är hypotenusan i en rätvinklig triangel med kateterna 15 m/s, alltså 21,2 m/s. Båda dividerar vi med tre sekunder:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Det första talet är den momentana accelerationen ur formeln, det andra medelaccelerationen. Ju kortare del av rondellen, desto mer sammanfaller bågen med linjen och desto närmare kommer medelaccelerationen den momentana accelerationen.

Bil i en kurva

Nu kör bilen med samma 54 km/h genom en bredare kurva med radien 50 m. Vilken acceleration har den? Vi skriver upp vad vi vet och räknar genast om hastigheten till meter per sekund:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_c& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Vi sätter in i formeln:

$$a_c=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Jämfört med rondellen är accelerationen nästan hälften så stor, en bredare kurva är mildare. Men se upp med hastigheten, den står i kvadrat i formeln. Om bilen kör in i samma kurva dubbelt så fort får den fyra gånger så stor acceleration, 18 m/s², och det klarar ingen bil på vägen. Därför bromsar man före kurvan och inte först i den. Accelerationen 4,5 m/s² är inte alls att förakta, det är ungefär som en kraftig inbromsning. Den pekar bara åt sidan.

Jorden runt solen

Jorden rör sig runt solen med ungefär 30 km/s, alltså 3 · 10⁴ m/s, på ett avstånd av ungefär 1,5 · 10¹¹ m. Hastigheten kan vi kontrollera: ett varv tar ett år, ungefär 3,16 · 10⁷ s, så

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Jordens bana är inte exakt en cirkel, men den ligger mycket nära, så vi kan sätta in i formeln:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Det är bara 0,006 m/s². Hastighetspilen ändras varje sekund med blygsamma sex millimeter per sekund, vid en hastighet på trettio kilometer per sekund är det ingenting. På en sekund färdas jorden 30 km och avviker då från en rät linje bara $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Men ett år har över trettio miljoner sekunder, och därför vrids hastighetspilen ett helt varv under ett år och jordens bana sluter sig.

Därför centrifugerar tvättmaskinen tvätten

Tvättmaskinens trumma med radien 0,25 m snurrar vid centrifugeringen med 1200 varv/min och har vinkelhastigheten 40π rad/s. Nu kommer den andra formen av formeln till användning:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radianen är ett rent tal, så av enheterna återstår meter per sekund i kvadrat. Accelerationen är över fyrahundra gånger större än tyngdaccelerationen g, alltså över 400g. Den som vill kontrollera det med hastigheten 31,4 m/s vid trummans vägg och formeln $\frac{v^2}{r}$ får samma resultat.

Vinkelhastigheten står i kvadrat i formeln. En tvättmaskin som centrifugerar med bara 800 varv/min snurrar en tredjedel långsammare, men accelerationen är mindre än hälften så stor: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, alltså ungefär 1750 m/s². Därför får du ut märkbart blötare tvätt ur en långsam centrifugering.

Vad betyder det här för tvätten? För att en vattendroppe ska följa med trumman runt måste den hela tiden svänga, och det med enorm acceleration. Strumpan hålls kvar på cirkeln av trummans vägg, men i väggen finns hål. En droppe som hamnar vid ett hål har inget som svänger den längre. Den slutar svänga och fortsätter rakt fram längs tangenten, ut ur trumman. Strumpan blir kvar inuti och vattnet hamnar utanför. Vad som egentligen tvingar kroppar att svänga är en fråga om krafter. Kinematiken har sagt hur mycket acceleration en sådan svängning kräver, och för tvättmaskinen är det verkligen mycket.

Därmed har vi beskrivit rörelsen men inte dess orsak. Varför kroppar sätter fart, bromsar och svänger förklaras av krafterna, och med dem börjar den andra delen av kategorin, artikeln Kraft.