Accélération centripète

Une voiture emprunte un rond-point et l’aiguille du compteur de vitesse ne bouge pas. Le conducteur n’accélère ni ne freine, et pourtant la voiture a une accélération. En effet, l’accélération ne mesure pas comment change le nombre sur le compteur, mais comment change toute la flèche de la vitesse. Et celle-ci tourne dans un virage. Dans un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est toujours dirigée vers le centre du cercle, et c’est de là qu’elle a reçu son nom d’accélération centripète.

Si tu cherches seulement la formule : un corps qui tourne à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération centripète

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

où ω est la vitesse angulaire. Nous allons montrer sur des figures vers où cette accélération est dirigée et d’où vient cette formule.

La flèche de la vitesse tourne sans cesse

L’accélération dit comment la vitesse change par unité de temps. Mais la vitesse est un vecteur, une flèche, et elle peut changer de deux façons : elle s’allonge ou se raccourcit, ou bien elle tourne. Sur une droite, la flèche ne fait que s’allonger et se raccourcir, ce qui correspond au démarrage et au freinage. Sur un cercle, c’est tout le contraire. La longueur de la flèche ne change pas, car le corps va toujours aussi vite, mais la flèche pointe le long de la tangente au cercle, et tourne donc un peu à chaque morceau d’arc. La rotation de la flèche est elle-même une variation de la vitesse, et donc une accélération.

Une erreur fréquente est d’affirmer que le mouvement circulaire uniforme n’a pas d’accélération, parce que la vitesse reste la même. Seule sa valeur reste la même. Si l’accélération était nulle, la flèche de la vitesse ne devrait pas changer du tout, ni en longueur ni en direction, et le corps irait tout droit. On ne peut pas tourner sans accélération.

L’animation montre un point qui tourne sur un cercle à vitesse constante. La flèche rouge de la vitesse tourne avec lui, la flèche verte de l’accélération pointe à chaque instant vers le centre.

La flèche verte est toujours perpendiculaire à la rouge. L’accélération n’a donc aucune composante dans le sens du mouvement ni en sens contraire, et la valeur de la vitesse ne change ainsi pas. Toute l’accélération est employée à faire tourner la flèche. La figure va révéler pourquoi elle pointe justement vers le centre et quelle est sa valeur.

Quelle est la valeur de l’accélération centripète

Observons le point seulement pendant un court instant Δt. Pendant ce temps, il se déplace du point A au point B et parcourt la distance

$$\mathrm{\Delta }d=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Sur la figure, ce petit bout de mouvement apparaît deux fois. À gauche, tu vois le triangle bleu des positions : le centre du cercle et les points A et B. Deux de ses côtés sont des rayons r, le troisième est le segment AB. En un court instant, l’arc est presque droit, le segment AB a donc pratiquement pour longueur Δd. À droite, tu trouves le triangle vert des vitesses : les deux flèches de la vitesse tracées à partir d’un même point et leur différence $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, qui va de la pointe de ${\overrightarrow{v}}_1$ à la pointe de ${\overrightarrow{v}}_2$. Les deux flèches de la vitesse ont pour longueur v.

Pour la lisibilité, l’angle est dessiné grand, mais imagine-le plutôt tout petit. L’essentiel est que les deux triangles ont le même angle φ au sommet. En effet, la flèche de la vitesse est toujours perpendiculaire au rayon, donc quand le rayon tourne de l’angle φ, la flèche de la vitesse tourne du même angle. Le rayon et la flèche sont liés comme les branches d’un L : si tu fais tourner une branche, toute la lettre tourne. Les deux triangles sont isocèles avec le même angle entre les côtés égaux. Ils ont donc la même forme et ne diffèrent que par la taille : ils sont semblables. Dans des triangles semblables, le rapport de la base au côté est le même :

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }d}{r}$$

Autrement dit : la flèche verte est autant de fois plus courte que la flèche de la vitesse que le segment AB est plus court que le rayon. À la place de Δd, nous mettons v · Δt et nous transformons l’équation :

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

À gauche, on trouve la variation de la vitesse par unité de temps, c’est-à-dire l’accélération :

$$a_c=\frac{v^2}{r}$$

Nous avons un peu triché, car le segment AB est un tout petit peu plus court que l’arc. Mais plus l’instant observé est court, plus le segment se confond avec l’arc, et pour l’accélération instantanée nous prenons un instant si court que nous ne voyons pas la différence. La formule est donc exacte.

La figure révèle aussi la direction. La flèche verte $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ pointe vers le bas, comme la droite qui joint le milieu du segment AB au centre du cercle. Pour un petit angle, elle est presque perpendiculaire aux deux flèches de la vitesse, et le rayon est perpendiculaire à la tangente. La variation de la vitesse, et avec elle l’accélération, est donc dirigée vers le centre.

Les unités aussi sont cohérentes :

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De plus, la formule se comporte de façon raisonnable. Plus le corps va vite, plus la flèche de la vitesse est longue et plus vite elle tourne. Les deux augmentent l’accélération, c’est pourquoi la vitesse est au carré dans la formule. Quand le rayon augmente, le cercle se redresse et l’accélération diminue. Pour un rayon énorme, un morceau de cercle est presque une droite et l’accélération est presque nulle, exactement comme il se doit pour un trajet en ligne droite à vitesse constante.

La seconde forme de la formule s’obtient quand nous remplaçons la vitesse par l’expression v = ω · r :

$$a_c=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Ici, on trébuche facilement. Dans la première forme, le rayon est au dénominateur, dans la seconde au numérateur. L’accélération augmente-t-elle avec le rayon, ou diminue-t-elle ? Les deux sont vrais, seulement à chaque fois autre chose reste inchangé. À vitesse égale, un virage plus large est plus doux, l’accélération est plus petite. À vitesse angulaire égale, par exemple sur un manège, le cheval de bois du bord a une plus grande vitesse, et donc une plus grande accélération que celui près du centre.

Un quart de rond-point

Revenons au rond-point. La voiture y roule à 54 km/h, donc à 15 m/s, et parcourt un quart du rond-point en 3 s. À partir de la flèche de la vitesse au début et à la fin du quart, on obtient une accélération moyenne d’environ 7,1 m/s² vers le centre. Mais quelle est l’accélération à chaque instant ?

Il nous faut le rayon. En 3 s, la voiture parcourt 15 m/s · 3 s = 45 m, et c’est un quart du périmètre du cercle :

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Passons maintenant à la formule. Nous gardons le rayon sous forme de fraction pour ne pas arrondir dans un résultat intermédiaire, et diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

L’accélération instantanée est de 7,85 m/s², plus que les 7,1 m/s² de moyenne. C’est à peu près ce qu’une voiture atteint en freinant à fond sur asphalte sec, un rond-point si petit est donc vraiment serré à 54 km/h. Comment se fait-il que les nombres diffèrent, alors que l’accélération a la même valeur tout le temps ? L’accélération moyenne ne provient que de la première et de la dernière flèche de la vitesse et de leur différence. Imagine toutes les flèches de la vitesse de ce quart de rond-point, tracées à partir d’un même point. Leurs pointes décrivent un quart de cercle de rayon 15 m/s. L’accélération instantanée indique à quelle vitesse la pointe avance le long de cet arc. L’accélération moyenne ne travaille qu’avec la droite qui joint la première et la dernière pointe, et celle-ci est plus courte que l’arc. Le déplacement et la distance parcourue diffèrent de la même façon : en ligne droite, le chemin est toujours plus court.

Nous pouvons vérifier les nombres. L’arc est un quart du périmètre d’un cercle de rayon 15 m/s, donc $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La droite qui joint les pointes est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit valent 15 m/s, donc 21,2 m/s. Nous divisons les deux par trois secondes :

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Le premier nombre est l’accélération instantanée tirée de la formule, le second la moyenne. Plus la portion de rond-point est courte, plus l’arc et la droite se confondent et plus l’accélération moyenne se rapproche de l’instantanée.

Une voiture dans un virage

Maintenant, la voiture roule à la même vitesse de 54 km/h dans un virage plus large, de rayon 50 m. Quelle est son accélération ? Nous écrivons ce que nous savons et nous convertissons tout de suite la vitesse en mètres par seconde :

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_c& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Nous remplaçons dans la formule :

$$a_c=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Par rapport au rond-point, l’accélération est presque moitié moindre, un virage plus large est plus doux. Mais attention à la vitesse, elle est au carré dans la formule. Quand la voiture entre dans le même virage deux fois plus vite, elle a une accélération quatre fois plus grande, 18 m/s², et aucune voiture n’en est capable sur la route. C’est pourquoi on freine avant le virage, et non pas dedans. Une accélération de 4,5 m/s² n’est pas du tout à dédaigner, c’est à peu près comme un freinage appuyé. Seulement, elle est dirigée vers le côté.

La Terre autour du Soleil

La Terre tourne autour du Soleil à la vitesse d’environ 30 km/s, donc 3 · 10⁴ m/s, à une distance d’environ 1,5 · 10¹¹ m. Nous pouvons vérifier la vitesse : un tour dure un an, environ 3,16 · 10⁷ s, donc

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

La trajectoire de la Terre n’est pas exactement un cercle, mais elle en est très proche, nous pouvons donc remplacer dans la formule :

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Cela ne fait que 0,006 m/s². La flèche de la vitesse ne change chaque seconde que de six millimètres par seconde, ce qui n’est rien sur une vitesse de trente kilomètres par seconde. En une seconde, la Terre parcourt 30 km et ne s’écarte de la droite que de $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Mais une année compte plus de trente millions de secondes, et c’est ainsi que la flèche de la vitesse fait un tour complet en un an et que la trajectoire de la Terre se referme.

Pourquoi la machine à laver essore le linge

Le tambour d’une machine à laver de rayon 0,25 m tourne pendant l’essorage à 1 200 tr/min, à la vitesse angulaire 40π rad/s. C’est maintenant la seconde forme de la formule qui est utile :

$$\begin{array}{rl}{a}_c& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Le radian est un simple nombre, il ne reste donc des unités que des mètres par seconde carrée. L’accélération est plus de quatre cents fois plus grande que l’intensité de la pesanteur g, donc plus de 400g. Celui qui voudrait le vérifier à partir de la vitesse de la paroi du tambour 31,4 m/s et de la formule $\frac{v^2}{r}$ obtient la même chose.

La vitesse angulaire est au carré dans la formule. Une machine à laver qui n’essore qu’à 800 tr/min tourne un tiers plus lentement, mais son accélération est plus de deux fois plus petite : ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, donc environ 1 750 m/s². C’est pourquoi tu sors d’un essorage lent un linge nettement plus mouillé.

Qu’est-ce que cela implique pour le linge ? Pour qu’une goutte d’eau tourne avec le tambour, elle doit changer de direction sans cesse, et avec une énorme accélération. La chaussette est retenue sur le cercle par la paroi du tambour, mais la paroi a des petits trous. Une goutte qui arrive au-dessus d’un trou n’a plus rien qui la fasse tourner. Elle ne change plus de direction et continue tout droit selon la tangente, hors du tambour. La chaussette reste à l’intérieur et l’eau est dehors. Ce qui oblige précisément les corps à suivre une courbe est une question de forces. La cinématique nous a dit de combien d’accélération un tel virage a besoin, et pour la machine à laver, c’est vraiment beaucoup.

Nous avons ainsi décrit le mouvement, mais pas sa cause. Pourquoi les corps démarrent, freinent et tournent, ce sont les forces qui l’expliquent, et c’est par elles que commence la seconde partie de la catégorie, l’article Force.