Merkezcil İvme

Araba göbekli kavşakta dönüyor ve hız göstergesinin ibresi kıpırdamıyor. Sürücü ne gaza basıyor ne de frene, yine de arabanın ivmesi var. Çünkü ivme, hız göstergesindeki sayının nasıl değiştiğini değil, hız okunun tamamının nasıl değiştiğini ölçer. Ok da virajda döner. Düzgün çembersel harekette ivme her zaman çemberin merkezine bakar ve adını da buradan alır: merkezcil ivme.

Yalnızca formülü arıyorsan: r yarıçaplı çember üzerinde v süratiyle dönen cismin merkezcil ivmesi

$$a_M=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

burada ω açısal hızdır. İvmenin nereye baktığını ve bu formülün nereden çıktığını şekillerle göstereceğiz.

Hız Oku Durmadan Döner

İvme, hızın birim zamanda nasıl değiştiğini söyler. Hız ise bir vektördür, bir oktur ve iki biçimde değişebilir: uzar ya da kısalır, ya da döner. Doğru üzerinde giderken ok yalnızca uzar ve kısalır, bu harekete geçmeye ve frenlemeye karşılık gelir. Çemberde tam tersi geçerlidir. Okun uzunluğu değişmez, çünkü cisim hep aynı hızla gider, buna karşılık ok çembere teğet boyunca bakar ve yayın her parçasıyla biraz döner. Okun dönmesi de bir hız değişimidir, dolayısıyla ivmedir.

Sık yapılan bir hata, düzgün çembersel hareketin ivmesi olmadığını, çünkü hızın aynı kaldığını söylemektir. Aynı kalan yalnızca büyüklüğüdür. İvme sıfır olsaydı hız oku hiç değişmemeliydi, ne uzunluğu ne yönü, ve cisim dosdoğru giderdi. İvmesiz dönülmez.

Animasyon, çember üzerinde sabit hızla dönen bir noktayı gösteriyor. Kırmızı hız oku onunla döner, yeşil ivme oku her an merkeze bakar.

Yeşil ok kırmızıya her zaman diktir. İvmenin bu yüzden ne gidiş yönünde ne de ters yönde bileşeni vardır ve hızın büyüklüğü değişmez. İvmenin tamamı okun döndürülmesine harcanır. Neden tam merkeze baktığını ve ne kadar büyük olduğunu şekil gösterecek.

Merkezcil İvme Ne Kadar Büyüktür

Noktayı yalnızca kısa bir Δt süresi izleyelim. Bu sürede A yerinden B yerine gider ve aldığı yol şudur:

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Şekilde hareketin bu parçası iki kez var. Solda konumların mavi üçgenini görüyorsun: çemberin merkezi ve A ile B noktaları. İki kenarı r yarıçaplarıdır, üçüncüsü AB doğru parçasıdır. Kısa sürede yay hemen hemen düzdür, bu yüzden AB doğru parçası pratikte Δs uzunluğundadır. Sağda hızların yeşil üçgeni var: tek noktadan çıkan iki hız oku ve onların farkı $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, ${\overrightarrow{v}}_1$’in ucundan ${\overrightarrow{v}}_2$’nin ucuna gider. İki hız oku da v uzunluğundadır.

Okunaklı olsun diye açı büyük çizildi, sen onu oldukça küçük hayal et. Önemli olan, iki üçgenin tepe açısının aynı olmasıdır, φ. Hız oku her zaman yarıçapa diktir, bu yüzden yarıçap φ açısı kadar dönünce hız oku da aynı açı kadar döner. Yarıçap ve ok, L harfinin kolları gibi bağlıdır: bir kolu çevirirsen bütün harf döner. İki üçgen de kolları arasındaki açı aynı olan ikizkenar üçgenlerdir. Bu yüzden şekilleri aynıdır ve yalnızca büyüklükleri farklıdır: benzerdirler. Benzer üçgenlerde taban ile kenarın oranı aynıdır:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Sözle: yeşil ok, hız okundan AB doğru parçasının yarıçaptan kısa olduğu kadar kat kısadır. Δs yerine v · Δt koyar ve denklemi düzenleriz:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

Sol tarafta birim zamandaki hız değişimi, yani ivme var:

$$a_M=\frac{v^2}{r}$$

Biraz hile yaptık, çünkü AB doğru parçası yaydan kıl payı kısadır. Ama ne kadar kısa bir an izlersek, doğru parçası yayla o kadar çakışır ve anlık ivme için farkın anlaşılmayacağı kadar kısa bir an alırız. Formül bu yüzden tam olarak geçerlidir.

Şekil yönü de açığa çıkarır. Yeşil ok $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ aşağı bakar, AB doğru parçasının ortasını çemberin merkezine bağlayan doğru gibi. Küçük bir açı için iki hız okuna da neredeyse diktir ve teğete dik olan da yarıçaptır. Hız değişimi, onunla birlikte ivme de, böylece merkeze bakar.

Birimler de uyuyor:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Formül ayrıca makul davranıyor. Cisim ne kadar hızlı giderse hız oku o kadar uzun olur ve o kadar çabuk döner. İkisi de ivmeyi artırır, formülde sürat bu yüzden karesiyle yer alır. Yarıçap büyüdükçe çember düzleşir ve ivme azalır. Çok büyük bir yarıçapta çemberin parçası neredeyse doğrudur ve ivme neredeyse sıfırdır, sabit hızla dosdoğru gitmede olması gerektiği gibi.

Formülün ikinci biçimi, hızın yerine v = ω · r ifadesini koyunca çıkar:

$$a_M=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Burada kolayca tökezlenir. İlk biçimde yarıçap paydadadır, ikincisinde payda. İvme yarıçapla artar mı, azalır mı? İkisi de geçerlidir, yalnızca her seferinde başka bir şey değişmeden kalır. Aynı süratte geniş viraj daha yumuşaktır, ivme daha küçüktür. Aynı açısal hızda, örneğin atlıkarıncada, kenardaki at merkezdekinden daha büyük süratle ve dolayısıyla daha büyük ivmeyle gider.

Kavşağın Çeyreği

Göbekli kavşağa dönelim. Araba orada 54 km/h, yani 15 m/s süratle gidiyor ve kavşağın çeyreğini 3 s’de geçiyor. Çeyreğin başındaki ve sonundaki hız okundan ortalama ivme merkeze doğru yaklaşık 7,1 m/s² çıkar. Peki her andaki ivme nedir?

Yarıçapa ihtiyacımız var. Araba 3 s’de 15 m/s · 3 s = 45 m yol alır ve bu çemberin çevresinin dörtte biridir:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Şimdi bunu formüle koyalım. Ara sonuçta yuvarlamamak için yarıçapı kesir olarak bırakırız ve kesirle bölmek, onun tersiyle çarpmaktır:

$$\begin{array}{rl}{a}_M& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Anlık ivme 7,85 m/s²’dir, ortalama 7,1 m/s²’den fazla. Bu, arabanın kuru asfaltta tam frenlemede yapabildiği kadar, yani bu kadar küçük bir kavşak 54 km/h için gerçekten keskin. İvme bütün süre boyunca aynı büyüklükteyken sayılar nasıl farklı çıkıyor? Ortalama ivme yalnızca ilk ve son hız okundan ve onların farkından çıkar. O kavşak çeyreğindeki bütün hız oklarını tek noktadan çizilmiş düşün. Uçları, yarıçapı 15 m/s olan çemberin çeyreğini çizer. Anlık ivme, ucun bu yay boyunca ne kadar hızlı ilerlediğini söyler. Ortalama ivme yalnızca ilk ve son ucu birleştiren doğru parçasıyla çalışır ve bu doğru parçası yaydan kısadır. Yer değiştirme ile alınan yol da aynı biçimde farklıdır: dümdüz gitmek her zaman daha kısadır.

Sayıları kontrol edebiliriz. Yay, yarıçapı 15 m/s olan çemberin çevresinin dörtte biridir, yani $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Uçları birleştiren doğru, dik kenarları 15 m/s olan dik üçgenin hipotenüsüdür, yani 21,2 m/s. İkisini de üç saniyeye böleriz:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

İlk sayı formülden çıkan anlık ivme, ikincisi ortalama. Kavşağın parçası ne kadar kısaysa yay ile doğru o kadar çakışır ve ortalama ivme anlık ivmeye o kadar yaklaşır.

Virajda Araba

Şimdi araba aynı 54 km/h ile 50 m yarıçaplı daha geniş bir virajdan geçiyor. İvmesi nedir? Bildiklerimizi yazalım ve sürati hemen saniyede metreye çevirelim:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_M& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Formüle koyalım:

$$a_M=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kavşağa göre ivme neredeyse yarı yarıya küçüktür, geniş viraj daha yumuşaktır. Ama sürate dikkat et, formülde karesi var. Araba aynı viraja iki kat hızlı girerse ivmesi dört kat büyük olur, 18 m/s², ve bunu yoldaki hiçbir araba kaldıramaz. Bu yüzden virajdan önce frenlenir, virajın içinde değil. 4,5 m/s² ivme hiç de hafife alınacak gibi değil, kabaca sert frenleme kadardır. Yalnızca yana bakar.

Dünya Güneş’in Etrafında

Dünya Güneş’in etrafında yaklaşık 30 km/s, yani 3 · 10⁴ m/s süratle, yaklaşık 1,5 · 10¹¹ m uzaklıkta döner. Sürati kontrol edebiliriz: bir tur bir yıl sürer, yaklaşık 3,16 · 10⁷ s, yani

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Dünya’nın yörüngesi tam bir çember değildir, ama ona çok yakındır, bu yüzden formüle koyabiliriz:

$$\begin{array}{rl}{a}_M& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Bu yalnızca 0,006 m/s²’dir. Hız oku her saniye yalnızca saniyede altı milimetre değişir, saniyede otuz kilometre süratin yanında hiçbir şey. Dünya bir saniyede 30 km yol alır ve düz çizgiden yalnızca $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$ sapar. Ama bir yılda otuz milyondan fazla saniye vardır ve hız oku bu yüzden bir yılda tam bir tur döner ve Dünya’nın yörüngesi kapanır.

Çamaşır Makinesi Çamaşırı Neden Sıkar

Yarıçapı 0,25 m olan çamaşır makinesi tamburu, sıkmada 1.200 devir/min ile 40π rad/s açısal hızla döner. Şimdi formülün ikinci biçimi işe yarıyor:

$$\begin{array}{rl}{a}_M& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3.950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radyan düz bir sayı olduğundan birimlerden metre bölü saniye kare kalır. İvme, yer çekimi ivmesi g’den dört yüz kattan fazla büyüktür, yani 400g’den fazla. Bunu tambur duvarının 31,4 m/s süratinden ve $\frac{v^2}{r}$ formülünden kontrol etmek isteyen, aynısını bulur.

Açısal hız formülde karesiyle yer alır. Yalnızca 800 devir/min ile sıkan çamaşır makinesi üçte bir daha yavaş döner, ama ivmesi iki kattan fazla küçüktür: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, yani yaklaşık 1.750 m/s². Yavaş sıkmadan sonra çamaşırın belirgin biçimde daha ıslak çıkmasının nedeni budur.

Bunun çamaşır için anlamı ne? Bir su damlasının tamburla birlikte dönebilmesi için durmadan dönmesi, hem de muazzam bir ivmeyle dönmesi gerekir. Çorabı çember üzerinde tambur duvarı tutar, ama duvarda delikler vardır. Deliğin üstüne gelen damlayı döndürecek hiçbir şey kalmaz. Dönmeyi bırakır ve teğet boyunca, tamburdan dışarıya doğru dosdoğru gider. Çorap içeride kalır, su dışarıdadır. Cisimleri tam olarak neyin döndürdüğü kuvvetlerin konusudur. Kinematik bize böyle bir dönmenin ne kadar ivme gerektirdiğini söyledi ve çamaşır makinesinde bu gerçekten çok.

Hareketi tanımladık, ama nedenini değil. Cisimlerin neden harekete geçtiğini, frenlediğini ve döndüğünü kuvvetler açıklar ve kategorinin ikinci kısmı onlarla başlar, Kuvvet makalesi.